Shearlet-basierte Energiefunktionale für anisotrope Phasenfeldmethoden.

• Antragsteller: Professor Dr. Philipp Petersen
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 397355080

Das beantragte Projekt untersucht die Modellierung von Phasenfeldmodellen mittels neuartiger Energien basierend auf sogenannten Shearletsystemen. Phasenfeldmodelle werden eingesetzt, um physikalische Phänomene zu beschreiben, bei denen abrupte Phasenübergänge zu beobachten sind. Beispielsweise die Entstehung eines Kristalls aus einer übersättigten Lösung oder die Entwicklung eines Bruchs können auf diese Art und Weise dargestellt werden. Das Phasenfeld minimiert eine Energie, die durch den modellierten physikalischen Prozess vorgeschrieben wird. In vielen Anwendungsgebieten ist diese Energie anisotrop. Im Beispiel der Bruchstellensimulation bedeutet dies, dass sich Brüche materialbedingt bevorzugt in vorgeschriebene Richtungen ausbreiten. Die Modellierung einer solchen Anisotropie hat insbesondere zur Folge, dass das resultierende Minimierungsproblem mit Standardmethoden numerisch sehr anspruchsvoll zu lösen ist. Die hohe numerische Komplexität entsteht dadurch, dass quasilinear oder nichtlineare partielle Differentialgleichungen gelöst werden müssen. Aus diesem Grund erlauben etablierte Methoden oftmals nur sehr eingeschränkte Anisotropien. In diesem Projekt entwickeln wir eine neue Methode, die zu weniger komplexen numerischen Verfahren führt, jedoch weiterhin sehr vielseitige Anisotropien modellieren kann. Dazu verwenden wir Energien basierend auf sogenannten Shearletsystemen. Diese Systeme sind Darstellungssysteme aus der angewandten harmonischen Analysis, die eine starke Richtungssensitivität aufweisen. Tatsächlich erfordert die Minimierung der Shearlet-basierten Energien nur die Lösung von linearen Operatorgleichungen - eine deutliche Vereinfachung gegenüber der Lösung quasilinearer oder nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Aufgrund der starken Richtungssensitivitaet sind Shearletsysteme außergewöhnlich gut geeignet um eine Vielzahl von Anisotropien zu beschreiben. Wir möchten uns in diesem Projekt auf die drei prominentesten Phasenfeldmodelle konzentrieren. Diese sind die Modellierung der Kristallisation, die Simulation von Bruchstellen, sowie Phasenfeldanwendungen in der Signal- und Bildverarbeitung, bei der beispielsweise Bilder entrauscht oder getrennt werden sollen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Endre Süli