Kombinatorische Aufgaben aus der Sicht der komplexen Analysis

• Antragsteller: Dr. Alexander Dyachenko
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 397763203

Dieses Projekt widmet sich neuen Positivitätseigenschaften, die sich an der Schnittstelle zwischen Analysis und Kombinatorik ergeben.Totale Positivität entstand im Zusammenhang mit Studien mechanischer Systeme und findet Anwendungen in der Statistik, Kombinatorik und Analysis. Hankel-totale Positivität ist die charakteristische Eigenschaft der Stieltjesischen Momentenfolgen, wie Gantmacher und Krein zeigten. Flajolets Arbeit von 1980 stellte eine wesentliche Anwendung der zugehörigen Stieltjesischen Kettenbrüche vor: er legte die Koeffizienten assoziierter Potenzreihen kombinatorisch aus. Alan Sokal, der voraussichtliche Gastgeber in diesem Projekt, erkannte mehrere weitere wichtige Folgen kombinatorischer Polynome als koeffizientenweise Hankel-total positiv. In bestimmten Fällen folgt der Beweis aus der Beziehung zu Kettenbrüchen. In anderen Fällen benötigt die Eigenschaftsprüfung ausgefeilte Methoden und bleibt ein ungelöstes Problem. Die Behandlung dieses Problems ist das erste Ziel dieses Projektes.Das zweite Ziel dieses Projektes besteht darin, die Positivität für eine Spezialklasse von formalen Potenzreihen zu erforschen. Diese Klasse tritt in Aufgaben wie dem Aufzählen von zusammenhängenden Graphen und der Wechselwirkung von Teilchen auf. Aus der Sicht der Analysis ist das Ziel, einige empirisch beobachtete Eigenschaften der Nullstellen von solchen Funktionen zu beweisen. Das umfasst eine Überprüfung Alan Sokals Vermutungen über die Einfachheit von Nullstellen und die Positivität von Koeffizienten ihrer Taylorentwicklung nach dem Parameter.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Alan Sokal