Numerische Analyse und Verallgemeinerungen für Optimalen Transport

• Antragsteller: Professor Dr. Bernhard Schmitzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 403056140

Die Erfassung von digitalen Bildern und 3D Daten über Mikroskope, medizinische Bildgebungsverfahren, Tiefensensoren und mehr wird zunehmend zum Standard in Wissenschaft und Technik. Für die automatisierte quantitative Auswertung dieser riesigen Datenmengen bedarf es ausgereifter mathematischer Modelle. Die Definition einer geeigneten Metrik auf der Menge der erfassten Datenpunkte ist dabei essentiell, da sie die Grundlage für weiterführende Verarbeitungsschritte stellt, wie z.B. Klassifizierung. Dafür muss die Metrik ein sinnvolles Maß für Ähnlichkeit zwischen Datenpunkten liefern, sie muss "Ausreißer" als solche erkennen und muss unempfindlich gegenüber Mess- und Diskretisierungsfehlern sein.Optimaler Transport (OT) bezeichnet ein mathematisches Optimierungsproblem. Durch OT kann eine geometrisch intuitive und robuste Metrik auf Wahrscheinlichkeitsmaßen über einem metrischen Raum definiert werden. Diese findet z.B. Anwendung in der Analyse von partiellen Differentialgleichungen. Darüber hinaus wird diese Metrik zunehmend als numerisches Werkzeug in der Datenanalyse eingesetzt, da sie aufgrund ihrer Robustheit und intuitiven Struktur naiveren Ähnlichkeitsmaßen deutlich überlegen ist.Das volle Anwendungspotential von OT ist jedoch bei Weitem noch nicht ausgenutzt.Dies hat hauptsächlich drei Gründe: OT ist nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert, d.h. für normalisierte nicht-negative skalare Signale (Signale mit mehreren Kanälen, z.B. Farbbilder, können nicht verglichen werden). Die induzierte Metrik ist nur dann geodätisch, wenn der Basisraum geodätisch ist (d.h. es gibt ggf. keine Möglichkeit, zwischen Datenpunkten sinnvoll zu interpolieren). Außerdem ist die numerische Lösung von OT Problemen sehr aufwändig. Dies schränkt die praktische Anwendbarkeit beträchtlich ein.Mittlerweile werden allgemeinere transportbasierte Metriken erforscht, für Maße mit variabler Masse, für nicht-skalare Signale und für diskrete Basisräume. Doch diese Entwicklung ist noch in einer sehr frühen Phase, zentrale theoretische Fragen sind noch offen und wichtige Entwicklungen stehen noch bevor. Und obwohl es bereits ein breites Spektrum an numerischen Algorithmen gibt, ist die momentane Situation noch unbefriedigend. Die effizientesten Methoden sind in der Regel hoch spezialisiert und daher unflexibel. Vielseitig einsetzbare Methoden sind im Allgemeinen beträchtlich weniger effizient. Die Gültigkeit vieler "praktischer Tricks" zur Beschleunigung dieser Methoden ist mathematisch nicht bewiesen.In diesem Projekt werden wir theoretische und praktische Aspekte von OT behandeln. Wir werden neue Transportmetriken für nicht-skalare Signale und für diskrete Basisräume definieren. Außerdem werden wir die Geometrie des zugrundeliegenden Optimierungsproblems genauer erforschen um darauf aufbauend neue numerische Methoden zu entwickeln, die schnell, flexibel und mathematisch zuverlässig sind.Dies wird viele neue Anwendungen von OT in der Datenanalyse ermöglichen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen