Dimensionsformeln für automorphe Formen auf orthogonalen Gruppen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Automorphe Formen auf orthogonalen Gruppen spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik, z.B. in der Theorie der Modulräume und der Theorie der Vertex-Algebren. Sie können als Schnitte von Geradenbündeln auf geeigneten lokalsymmetrischen Räumen aufgefasst werden. Die Räume von Modulformen eines festen Gewichts sind endlich-dimensional und ihre Dimensionen können mit Hilfe des Theorems von Hirzebruch-Riemann-Roch und der holomorphen Lefshetz-Formel berechnet werden. Dazu muss man eine geeignete glatte toroidale Kompaktifizierung des zugrundeliegenden lokalsymmetrischen Raumes konstruieren, die eine Berechnung der Schnittprodukte der Chern-Klassen des Kotangentialbündels und des logarithmischen Kotangentialbündels mit den Randdivisoren erlaubt. In diesem Projekt betrachten wir automorphe Formen zu dem eindeutigen geraden unimodularen Gitter der Signatur (10,2). Wir zeigen, dass die Weyl-Kammern der Spiegelungsgruppe des geraden unimodularen Gitters der Signatur (9,1) eine schöne Kompaktifizierung der entsprechenden Modulvarietät liefern. Wir untersuchen die Geometrie dieser Kompaktifizierung. Insbesondere beschreiben wir die Randdivisoren und gewisse spezielle Divisoren und bestimmen deren Schnittprodukte. Dann entwickeln wir ein Rekursionsverfahren, welches die Schnittprodukte der Randdivisoren mit den Chern-Klassen auf bekannte geometrische Invarianten zurückführt. Die noch fehlenden Schritte für eine vollständige Dimensionsformel in diesem Fall sind die Kontrolle der Rekursionsschritte und die Anwendung der holomorphen Lefschetz-Formel.
