Regularität von Lie-Gruppen und Lie's Dritter Satz
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Zielsetzung des Projekts wurde in vollem Umfang erreicht: • Es wurde das Regularitätsproblem im asymptotic estimate-Fall komplett gelöst (bis auf einen technischen Wermutstropfen im k = 0-Fall, in welchem zusätzlich die Folgenvollständigkeit der Lie-Gruppe angenommen werden muss). • Es wurde ganz allgemein klargestellt, dass der essentielle Teil des Regularitätsproblems die Semiregularität (Definiertheit der Evolutionsabbildung) darstellt. Diese impliziert nämlich bereits die Mackey-Stetigkeit der Evolutionsabbildung, und diese wiederum deren Differenzierbarkeit (die gegeben Stetigkeitseigenschaften vererben sich dann auch entsprechend auf das Differential, da dieses in expliziten Termen angegeben ist). Im Frechet-Fall ist Mackey-Stetigkeit sogar gleichbedeutend mit normaler Stetigkeit, womit hier dann Regularität und Semiregulariät gleichbedeutend sind. Diese Sachverhalte legen nun auch nahe, dass der für das Regularitätsproblem selbst essentiell relevante Stetigkeits begriff die Mackey-Stetigkeit ist (im generischen Fall ist dies eine signifikant schwächere Bedingung als normale Stetigkeit). Mit Hilfe der Untersuchungen der Lax-Gleichung und der Einführung einer gewissen Transformationsabbildung zwischen Kurven, wurde im folgenvollständigen AE-Fall die Produktintegrierbarkeit von stetigen Kurven (Enthaltensein dieser im Definitionsbereich der Evolutionsabbildung) aus der Produktintegrierbarkeit aller glatten Kurven geschlussfolgert. Bemerkenswert ist hierbei, dass die Zusatzbedingung der Folgenvollständigkeit der Lie-Gruppe, die für stetige Kurven auftritt, gewissermaßen durch die Folgenvollständigkeit des Modellraumes ersetzt wurde (im Banach-Fall ist zwar leicht einzusehen, dass die Folgenvollständigkeit des Modellraumes die Folgenvollständigkeit der Lie-Gruppe impliziert; bereits im generischen AE-Fall ist das allerdings nicht mehr klar). Mit Hilfe der etablierten Lax-Resultate wurde der Raum der Lie-Algebra-wertigen Kurven mit mit einer entsprechenden Lie-Gruppen-Struktur versehen. Im Rahmen des Projektes ursprünglich nicht geplante Resultate sind (bspw.) die Folgenden: • Die vollumfängliche Analyse der Lax-Gleichung (Existenz, Eindeutigkeit, algebraische Verträglichkeitseigenschaften der Lösungen) samt Angabe expliziter Lösungen im folgenvollständigen AE-Fall (insbes. im Banach-Fall). • Die Verallgemeinerung der Baker-Campbell-Dynkin-Hausdorff-Formel im Banach bzw. schwach regulären nilpotenten Fall, die sogar in endlichen Dimensionen noch nicht bekannt gewesen ist. Zudem die daraus resultierende explizite Darstellung des Produktintegrals in Termen der Exponentialfunktion und verallgemeinerten Potenzreihen in iterierten Riemannintegralen über verschachtelte Kommutatoren, die bisher nur im abelschen Fall bekannt gewesen ist. • Die Verallgemeinerung des klassischen Fortsetzungssatzes von Seeley in unendliche Dimensionen (nebst zusätzlichen Erweiterungen). • Die Untersuchung der starken Trotter-Eigenschaft für unendlichdimensionale Lie-Gruppen (abgemilderte Voraussetzungen).
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Differentiability of the evolution map and Mackey continuity. Forum Mathematicum, 31(5), 1139-1177.
Hanusch, Maximilian
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The regularity problem for Lie groups with asymptotic estimate Lie algebras. Indagationes Mathematicae, 31(1), 152-176.
Hanusch, Maximilian
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The Strong Trotter Property for Locally µ-convex Lie Groups, J. Lie Theory 30 (2020), 1, 025-032
M. Hanusch
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A -seeley-extension-theorem for Bastiani’s differential calculus. Canadian Journal of Mathematics, 75(1), 170-201.
Hanusch, Maximilian
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Regularity of Lie groups. Communications in Analysis and Geometry, 30(1), 53-152.
Hanusch, Maximilian
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Decompositions of analytic 1-manifolds. Indagationes Mathematicae, 34(4), 752-811.
Hanusch, Maximilian
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The Lax equation and weak regularity of asymptotic estimate Lie groups. Annals of Global Analysis and Geometry, 63(3).
Hanusch, Maximilian
