Verallgemeinerungen von (Hyper-)Kähler-Geometrie und geometrische Flussgleichungen mit Bezug zu Ricci-flachen riemannschen Mannigfaltigkeiten.

• Antragsteller: Dr. Marco Karl Freibert
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405980393

Mein Forschungsprojekt hat mit den verschiedenen Geometrien zu tun, die in der sogenannten Berger-Liste auftauchen. Diese Liste klassifiziert die möglichen irreduziblen Holonomiegruppen nicht-symmetrischer einfach-zusammenhängender riemannscher Mannigfaltigkeiten. Mehrere dieser Geometrien sind automatisch Ricci-flach und besitzen ein paralleles Spinor-Feld. Wegen dieser beiden Eigenschaften tauchen sie auch in der Physik als "interne Räume" in Kompaktifizierungen höher-dimensionalen supersymmetrischen Theorien auf. Allgemeiner werden dort interne Räume mit geometrische Strukturen benutzt, welche einen sogenannten "charakteristischen" Zusammenhang besitzen.Mein Forschungsprojekt kann nun grob in zwei Teile eingeteilt werden. Der erste Teil beschäftigt sich dabei mit bestimmten Verallgemeinerungen von Kähler- und Hyperkähler-Geometrie, während der zweite Teil verschiedene geometrische Flussgleichungen mit Bezug zu den Ricci-flachen Geometrien aus der Berger-Liste behandelt.Im ersten Teil geht es um SKT-Strukturen, eine Verallgemeinerung von Kähler-Strukturen die einen charakteristischen Zusammenhang besitzen, und um komplex-symplektische Strukturen, eine Verallgemeinerung von Hyperkähler-Strukturen. In beiden Fällen will ich dabei in Zusammenarbeit mit anderen Mathematikern diese Strukturen im links-invariantem Kontext für bestimmte Klassen von nilpotenten oder auflösbaren Lie-Gruppen klassifizieren. Wir bemerken, dass wir im SKT-Fall zur Klassifikation die gemeinsam mit meinen Kooperationspartner in diesem Teil des Projektes entwickelte "Shear-Konstruktion" benutzen werden.Der zweite Teil dreht sich um den Spinor-Fluss, den modifizierten laplaceschen Kofluss und das Zusammenspiel des Hitchin-Flusses mit Gruppen-Kontraktionen. Auch diese Teilprojekte sind alles Kooperationen mit verschiedenen Mathematikern in London und anderen Orten in Europa.Die kritischen Punkte der ersten beiden Flüsse sind beliebige bzw. sieben-dimensionale ricci-flache riemannsche Mannigfaltigkeiten (mit bestimmten Zusatzdaten) aus der Berger-Liste. Wir wollen hierbei Beispiele und Eigenschaften dieser relativ neuen geometrischen Flüsse im homogenen Kontext und in anderen "symmetrischen Fällen"untersuchen um allgemein ein besseres Verständnis dieser Flüsse zu bekommen.Der Hitchin-Fluss ist ein geometrischer Fluss in 6 Dimension welcher sieben-dimensionale Ricci-flache riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Holonomie in G2 produziert (ein "exzeptioneller" Fall in Bergers Liste). Mittels sogenannter Gruppenkontraktionen wurden von Physikern aus links-invarianten Lösungen dieses Flusses auf S^3\times S^3 links-invariante Lösungen auf anderen Lie-Gruppen konstruiert. Wir wollen dieses Wechselspiel zwischen Gruppenkontraktionen und dem Hitchin-Fluss in den gerade genannten Fällen im Detail verstehen und systematisch auf S^3\times S^3 und anderen Lie-Gruppen untersuchen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Simon Salamon