Glättung und Nicht-Glättung mittels Ricci-Fluss

• Antragstellerin: Dr. Franziska Borer, seit 10/2018
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 408275461

Es ist bekannt, dass für den Ricci-Fluss mit glatten Anfangsdaten, die Bildung einer Singularität in endlicher Zeit auf eine gewisse Art ein natürliches Phänomen ist. Mangels einer schwachen Formulierung wurde bisher der Ricci-Fluss mit Hilfe von Chirurgie über eine singuläre Zeit hinaus fortgesetzt. Es gibt mehrere nicht ganz beliebige Möglichkeiten so eine Konstruktion durchzuführen. Um einen kanonischen Ricci-Fluss durch Singularitäten zu definieren, ist ein erster, wichtiger Schritt (dieser stellt auch die Kernfrage in diesem Antrag dar), eine Theorie zu entwickeln, die es uns erlaubt Lösungen des Ricci-Flusses zu konstruieren, welche auf einem möglicherweise singulären, metrischen Raum starten. Unser Antrag beinhaltet ein Kurzzeitexistenzresultat für den Ricci-Fluss mit viel schwächeren Annahmen an die Anfangsdaten als jene, welche in der bisherigen Literatur benötigt wurden, sowie eine detaillierte Strategie für Anwendungen, um eine Vielzahl von singulären Räumen zu glätten. Als Nebenprodukt entwerfen wir ein genaues Vorgehen, um ein offenes Problem (die Glättungsvermutung) in der metrischen Geometrie zu lösen.Im speziellen Fall von zwei Dimensionen, können wir stärkere Ergebnisse für die bekannten Resultate erwarten, wenn wir die Analogie mit dem harmonischen Wärmefluss ausnutzen. Konkret beabsichtigen wir die derzeitige Existenz- und Eindeutigkeitstheorie zu verbessern, indem wir mit Anfangsdaten starten, welche wenig Regularität haben. Wir verfolgen zwei Ziele: Zum einen wollen wir zeigen, dass durch die Bedingung der Volumenerhaltung die Lösung unmittelbar glatt wird.Zum anderen konstruieren wir nicht-glatte Lösungen, indem wir die Volumenerhaltung verletzen. Letzteres würde das erste Beispiel einer nicht-glatten (und nicht-eindeutigen) Lösung des Ricci-Flusses startend von einer geschlossenen Fläche bedeuten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Ehemalige Antragstellerin: Professorin Dr. Esther Cabezas-Rivas, bis 9/2018