Glättung und Nicht-Glättung mittels Ricci-Fluss
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt war der Konstruktion glatter und nicht-glatter Lösungen für geometrische Flüsse gewidmet. Es ist bekannt, dass für den Riccifluss mit glatten Anfangsdaten in n Dimensionen, wobei n > 2 ist, die Bildung einer Singularität in endlicher Zeit auf eine gewisse Art ein natürliches Phänomen ist. Dieses Phänomen konnte bislang in zwei Dimensionen, wo der Riccifluss sogar für H-Anfangsbedingungen glatte Lösungen liefert, nicht beobachtet werden. Es stellte sich daher die Frage, ob wir - basierend auf Resultaten vom harmonischen Wärmefluss - auch zweidimensionale nicht-glatte Ricciflusslösungen konstruieren können. Weiten wir die Fragestellung auf den Fluss vorgeschriebener Krümmung aus, so haben sich Methoden ergeben, um offene Probleme ( die Glättungsvermutungen) in der metrischen Geometrie zu lösen. Letzteres stellte auch die Kernfrage in unser Arbeit dar. Mittels einer Modifizierung des vorgeschriebenen Gausskrümmungsflusses waren wir in der Lage, auf geschlossenen Riemannschen Flächen mit negativer Euler Charakteristik konforme Metriken zu finden mit vorgeschriebenem Volumen A > 0 und der Eigenschaft, dass ihre Gausskrümmug fλ = f +λ ist, wobei f ∈ C∞(M) eine vorgegebene Funktion und λ eine additive Konstante ist. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten erfordert unser Ansatz keine Vorzeichenbedingungen an f. Darüber hinaus zeigen wir Bedingungen, unter denen die Funktion fλ das Vorzeichen ändert und der standardmässig vorgeschriebene Gausskrümmungsfluss nicht anwendbar ist. Des Weiteren haben wir nach glatten Lösungen des Krümmugsflusses also konforme, Riemannsche Metriken - auf kompakten Riemannschen Flächen gesucht, welche im Innern eine vorgeschriebene Gausskrümmung und am Rand verschwindende Geodätenkrümmung haben. Dies verallgemeinert ein Resultat von Simon Brendle, in welchem er die analoge Fragestllung für konstante Gausskrümmung (also den Riccifluss) im Innern untersucht.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Lights Out on graphs. Mathematische Semesterberichte, 68(2), 237-255.
Berman, Abraham; Borer, Franziska & Hungerbühler, Norbert
-
A variant prescribed curvature flow on closed surfaces with negative Euler characteristic. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 62(9).
Borer, Franziska; Elbau, Peter & Weth, Tobias
