Bruchmodelle in SBD: Homogenisierung und quasistatische Evolution
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In der Untersuchung von Bruchmodellen stellt sich eine Reihe von interessanten mathematischen Fragen, etwa das Verständnis des effektiven Verhaltens von brüchigen, heterogenen Materialien. Formulierungen mittels variationeller Methoden, bei denen Löungen durch ein Prinzip der Energieminimierung bestimmt werden, liefern effiziente Techniken für Modellierung, Analysis und Simulationen. In diesem Forschungsprojekt haben wir uns mit Existenzresultaten und Homogenisierung für Bruchmodelle in der linearisierten Elastizitätstheorie beschäftigt. Im ersten Abschnitt haben wir Resultate über r-Konvergenz und Unterhalbstetigkeit für sogenannte stückweise starren Funktionen hergeleitet, d.h. Funktionen, die stückweise affin auf einer Partition sind, wobei in jeder Komponente die Ableitung konstant ist und in einer Menge ohne Rang-1-Verbindungen liegt. Der Schwerpunkt des zweiten Abschnitts lag auf Funktionalen, die im Raum GSBDp (generalisierte spezielle Funktionen beschränkter Deformation) definiert sind. Dabei haben wir Resultate im Bereich der Homogenisierungstheorie erzielt, die zu einem besseren Verständnis des effektiven asymptotischen Verhaltens brüchiger Materialien mit Mikrostrukturen beitragen. Die Fragestellungen wurden mit Hilfe von fortgeschrittenen Methoden der Variationsrechnung und der geometrischen Maßtheorie behandelt. Insbesondere haben wir von neuen tiefgehenden Resultaten für den Funktionenraum GSBD profitiert und haben im Laufe des Projekts weitere Eigenschaften dieses Raumes gezeigt, etwa sogenannte fundamental estimates oder Resultate über Integralrepräsentation. Während der ursprüngliche Forschungsplan lediglich vorsah, die Probleme in zwei Raumdimensionen zu untersuchen, konnten weite Teile des Projekts letztlich in jeder Dimension umgesetzt werden. Dies beruht auf neuen Entwicklungen in der Literatur, etwa einer Korn-Ungleichung in GSBD für Funktionen mit einer kleinen Sprungmenge.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Functionals defined on piecewise rigid functions: Integral representation and Γ-convergence. Arch. Ration. Mech. Anal. 236 (2020), 1325–1387
M. Friedrich, F. Solombrino
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00205-020-01493-8) - Integral representation for energies in linear elasticity with surface discontinuities. Adv. Calc. Var.
V. Crismale, M. Friedrich, F. Solombrino
(Siehe online unter https://doi.org/10.1515/acv-2020-0047) - Γ-convergence for free-discontinuity problems in linear elasticity: Homogenization and relaxation
M. Friedrich, M. Perugini, F. Solombrino
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2010.05461) - Lower semicontinuity for functionals defined on piecewise rigid functions and on GSBD. J. Funct. Anal. 280 (2021), 108929
M. Friedrich, M. Perugini, F. Solombrino
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jfa.2021.108929)
