Ein ganzheitlicher Ansatz für die refraktive, dynamische Tensorfeldtomographie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Rahmen des Projekts wurden signifikante Fortschritte auf dem Gebiet der Tensor-Tomographie erzielt für statische, dynamische, gedämpfte Settings und unter Einbeziehung von Beugungen. Es wurden verallgemeinerte gedämpfte Strahl-Transformationen für Tensorfelder höherer Ordnung untersucht und Integralmomente berechnet, wodurch eindeutige Lösbarkeit des zugrunde liegenden Randwertproblems unter bestimmten Glattheitsannahmen bewiesen werden konnte. Neuartige Lösungsmethoden, die zum Teil auf der approximativen Inversen basieren, führten zu exakten Rekonstruktionen für Vektor- und 2-Tensorfelder in zwei Dimensionen. Des Weiteren wurden Singulärwertzerlegungen für die entsprechenden Integraltransformationen hergeleitet und Stetigkeits-Abschätzungen in Sobolev-Bochner-Räumen bewiesen. In einem alternativen Ansatz wurde Tensor-Tomographie als inverses Quellproblem für Transportgleichungen untersucht, welche auf dem geodätischen Vektorfeld beruhen. Durch Addition eines Viskositätsterms war es möglich, die eindeutige Existenz schwacher Lösungen unter bestimmten, milden Bedingungen an den Absorptionskoeffizienten und den Brechungsindex nachzuweisen. Der zum Vorwärtsproblem gehörende adjungierte Operator der dynamischen Strahl- Transformation wurde hergeleitet und führte zu zwei unterschiedlichen, äquivalenten Darstellungen. Die Integraldarstellung erwies sich dabei als rechnerisch einfacher, obwohl sie mehrfache Lösungen der geodätischen Differentialgleichung für unterschiedliche Anfangswerte erforderte. Die numerische Implementierung der Verfahren konzentrierte sich auf den stationären Fall unter Verwendung von Polargittern. Die Herausforderungen bestanden im optimalen Gittersampling und der Behandlung von Singularitäten im Ursprung. Unter Verwendung sythetischer Testdaten wurde numerische Konvergenz des Verfahrens für unterschiedliche Regularisierungs- und Viskositätsparameter nachgewiesen. Die numerische Validierung ergab, dass die Verfahren, welche Integraldarstellungen verwenden, den PDE-basierten Methoden hinsichtlich Effizienz deutlich überlegen waren bei gleicher Rekonstruktionsgenauigkeit. In beiden Fällen wurde die gedämpfte Landweber-Methode mit Nesterov-Beschleunigung für die Rekonstruktion angewendet. Dabei erwies sich die Methode basierend auf Intergaloperatoren als effizienter und wurde daher für den nicht-Euklidischen Fall ausschließlich eingesetzt. Weitere Tests widmeten sich den Untersuchungen des Einflusses von Rauschen in den Daten sowie der Ablenkung der Trajektorien weg von Geraden, wobei sich zeigte, dass die Einbeziehung von Beugungen in die Modellierung die Genauigkeit erhöht und die höheren Rechenzeiten dadurch aufwiegt.
Link zum Abschlussbericht
https://oa.tib.eu/renate/handle/123456789/21446
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Integral and differential operators as the tools of integral geometry and tomography. Numerical Computations: Theory and Algorithms NUMTA 2019
E. Derevtsov, Y. Volkov & T. Schuster
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Differential Equations and Uniqueness Theorems for the Generalized Attenuated Ray Transforms of Tensor Fields. Lecture Notes in Computer Science, 97-111. Springer International Publishing.
Derevtsov, Evgeny Yu.; Volkov, Yuriy S. & Schuster, Thomas
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Integral Operators at Settings and Investigations of Tensor Tomography Problems. Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov's Legacy, 111-117. Springer International Publishing.
Derevtsov, Evgeny; Volkov, Yuriy & Schuster, Thomas
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The Method of Approximate Inverse in Slice-by-Slice Vector Tomography Problems. Lecture Notes in Computer Science, 487-494. Springer International Publishing.
Svetov, Ivan E.; Maltseva, Svetlana V. & Louis, Alfred K.
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An iterative algorithm for reconstructing a 2D vector field by its limited-angle ray transform. Journal of Physics: Conference Series, 1715(1), 012037.
Maltseva, S. V.; Svetov, I. E. & Louis, A. K.
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Generalized attenuated ray transforms and their integral angular moments. Applied Mathematics and Computation, 409, 125494.
Derevtsov, Evgeny Yu.; Volkov, Yuriy S. & Schuster, Thomas
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On solving the slice-by-slice three-dimensional 2-tensor tomography problems using the approximate inverse method. Journal of Physics: Conference Series, 1715(1), 012036.
Louis, A. K.; Maltseva, S. V.; Polyakova, A. P.; Schuster, T. & Svetov, I. E.
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Well-defined forward operators in dynamic diffractive tensor tomography using viscosity solutions of transport equations. ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis, 57, 80–100.
Vierus, Lukas & Schuster, Thomas
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A unified approach to inversion formulae for vector and tensor ray and radon transforms and the Natterer inequality. Inverse Problems, 40(8), 085007.
Louis, Alfred K.
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Dynamic refractive tensor field tomography as an inverse problem for a transport equation. Doctoral thesis, Saarland University Saarbrücken
L. Vierus
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Inversion formulae for ray transforms in vector and tensor tomography. Inverse Problems, 38(6), 065008.
Louis, Alfred K.
