Ein ganzheitlicher Ansatz für die refraktive, dynamische Tensorfeldtomographie

• Antragsteller: Professor Dr. Alfred Karl Louis (†); Professor Dr. Thomas Schuster
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 411005946

In den letzten Jahrzehnten sind tomographische Verfahren als fester Bestandteil der Forschung in den Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Biologie und Medizin oder dem Monitoring von Erde, Ozeanen und Atmosphäre nicht mehr wegzudenken. Die Relevanz bei der Lösung komplexer Fragestellungen zeigt sich in der schnellen Entwicklung tomographischer Methoden und deren zahlreichen Anwendungen in der Praxis. Das Projekt beschäftigt sich mit theoretischer und numerischer Grundlagenforschung im Bereich der Tensortomographie in recht allgemeinen und komplexen mathematischen Settings, die wesentlich sind für viele praktische Anwendungen, bei denen jedoch zufriedenstellende mathematische Modelle und numerische Lösungsverfahren nicht zur Verfügung stehen. Die Forschung umfasst dabei die adäquate mathematische Modellierung, welche auch eine eventuelle Abhängigkeit von der Zeit sowie Phänomene wie Absorption und Brechung mit berücksichtigen, eine rigorose Analyse der Modelle gefolgt von der Entwicklung problemangepasster, numerischer Lösungsverfahren. Tensortomographie bedeutet dabei das inverse Problem der Berechnung eines Tensorfeldes aus Integralen entlang geodätischer Kurven einer assoziierten Riemannschen Metrik. Zeigt das zugrunde liegende Medium keine Brechungseffekte, so ist die zugehörige Metrik die Euklidische und die geodätischen Kurven entsprechen Geraden, in Analogie zur klassischen Computertomographie. Während die Brechung durch eine geeignete Riemannsche Metrik modelliert wird, so impliziert die Absorption einen Dämpfungsterm. Ganz allgemein ist das mathematische Modell demnach durch die geodätische, beziehungsweise exponentielle geodätische, Strahltransformation für Tensorfelder gegeben. Hängen die Tensorfelder zusätzlich von der Zeit ab, was zum Beispiel der Fall ist, wenn das Objekt Bewegungen unterworfen ist, so tritt sogar das Problem der dynamischen Tensortomographie auf. Die zugrunde liegenden inversen Probleme können entweder durch geeigenete Integraltransformationen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten beschrieben werden oder als Parameter-Identifizierungsprobleme für eine Transportgleichung, bei der die Integraldaten als Randwerte auftreten. Speziell die zweite Sichtweise sollte ein neues Licht auf dieses anspruchsvolle inverse Problem und dessen Lösung werfen. Die Zielsetzungen des Projekts umfassen den kompletten Weg von der Modellierung über die Analysis bis hin zur Konstruktion stabiler, numerischer Lösungsmethoden für die refraktive, dynamische Tensortomographie (RDTT). Die umfangreichen und anspruchsvollen Aufgaben in diesem Forschungsgebiet verlangen nach einer engen Kooperationen mit unseren russischen Partnern aus Novosibirsk, die bekannte Experten in diesem Bereich sind. Ein erfolgreicher Abschluss dieses Projekts wird weitreichende Auswirkungen auf die gesamte tomographische Community haben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Partnerorganisation: Russian Foundation for Basic Research
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Evgeny Derevtsov; Professorin Dr. Bernadette Hahn-Rigaud