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Quanteninvarianten, Konkordanz und Entknotung

Antragsteller Dr. Lukas Lewark
Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2019 bis 2024
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 412851057
 
Erstellungsjahr 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die geometrische Topologie ist ein Gebiet der reinen Mathematik, welches geometrische Objekte – sogenannte Mannigfaltigkeiten – und ihre Wechselbeziehungen untersucht. Die mathematische Theorie der Knoten nimmt einen Platz im Zentrum der geometrischen Topologie ein. Denn Knoten dienen dazu, Mannigfaltigkeiten von Dimension 3 und 4 – den wohl schwierigsten und interessantesten Dimensionen – zu beschreiben und zu verstehen. Knoten selbst werden mit einer Reihe sehr unterschiedlicher Werkzeuge analysiert. Das übergeordnete Ziel dieses Emmy Noether-Projekts war es, zwischen diesen unterschiedlichen Sichtweisen auf Knoten Verbindungen zu knüpfen. Ein besonderes Augenmerk lag dabei auf geometrischen Anwendungen. Ein Zugang zur Knotentheorie ist der diagrammatische: aus Eigenschaften eines Knotendiagramms (einer Zeichnung des Knotens in der 2-dimensionalen Eben) versucht man geometrische Konsequenzen für den Knoten selbst abzuleiten. Zwei solche Resultate dieses Projekts sollen hervorgehoben werden. Erstens: falls ein Diagramm fast positiv ist (d.h. es hat nur eine negative Kreuzung), dann ist der entsprechende Knoten streng quasipositiv (letzteres ist eine geometrische Eigenschaft mit Bezug zur algebraischen Geometrie). Dies war eine offene Vermutung. Zweitens: für Diagramme, die als Abschlüsse dreisträngiger Zöpfe entstehen, gibt es eine einfache algebraische Charakterisierung dafür, ob bei dem entsprechenden Knoten das minimale Geschlecht einer ihn berandenden Fläche im 3- und 4-dimensionalen Raum gleich ist. Ein Werkzeug, das in diesem Projekt Anwendung fand, ist die Khovanov-Homologie, eine sogenannte kategorifizierte Quanteninvariante, die – 1999 eingeführt – noch vergleichsweise jung ist. Obwohl die Khovanov-Homologie auf rein diagrammatische Weise definiert ist, hat sie erstaunlicherweise geometrische Anwendungen. Zwei neue solche kamen in diesem Projekt ans Licht: erstens, eine untere Schranke für die eigentliche rationale Entknotungszahl, basierend auf Arbeiten von Alishahi-Dowlin. Zweitens, eine neue Konkordanzinvariante, welche mit Hilfe von Satellitenoperationen definiert wurde. Im 4-Dimensionalen gibt es eine große Diskrepanz zwischen differenzierbaren („glatten“) Mannigfaltigkeiten einerseits, und topologischen (gewissermaßen weniger glatten) Mannigfaltigkeiten andererseits. Dieser Gegensatz ist, seit den bahnbrechenden Arbeiten von Donaldson und Freedman in den 1980ern, eine der wichtigsten Triebkräfte dieses Forschungsgebiets. Die Anwendungen der Khovanov-Homologie auf Knoten spielen sich in der glatten Kategorie ab. Eines der wichtigsten Ergebnisse dieses Projektes in der topologischen Kategorie hingegen ist eine vollständige algebraische bzw. 3-dimensionale Charakterisierung des minimalen Geschlechts gewisser topologische Flächen im 4-Dimensionalen. Diese kann als eine quantitative Version eines Satzes von Freedman verstanden werden, welcher die Existenz gewisser Scheiben im 4-Dimensionalen algebraisch charakterisiert.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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