Gitter- und transformationsfreie Modellreduktion für parameter-variierende Systeme
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In den letzten drei Jahrzehnten haben sich linear-parameter-variierende (LPV) Systeme zu einem leistungsfähigen Rahmenwerk entwickelt, das die Erweiterung effizienter Analyse- und Synthesewerkzeuge für lineare zeitinvariante (LTI) Systeme auf eine breite Klasse zeitvariabler und nichtlinearer Systeme ermöglicht. Da jedoch Analyse- und Synthese-Bedingungen über den zulässigen Parameterbereich auf einem Gitter bewertet werden müssen, werden die rechnerische Komplexität und damit die Modellreduktion zu einem Problem. Leistungsfähige Modellreduktionstechniken für LTI-Systeme, die auf einer Balanced Realisation des Zustandsraummodells basieren, wurden daher auch auf LPV-Modelle erweitert. Die bisher verfügbaren Methoden zur LPV-Modellreduktion beruhen auf der Lösung des Modellreduktionsproblems auf einem Gitter über dem Parameterraum, was bei großen Systemen das Reduktionsproblem selbst unlösbar machen kann. Die Idee zu diesem Projekt entstand aus der Tatsache, dass eine Gitterung des Parameterraums für LPV-Systeme unter bestimmten Umständen vermieden werden kann, insbesondere wenn das LPV-System in einer speziellen Form (als Linear Fractional Representation) ausgedrückt wird, wenn eine bestimmte Art der Problemlösung verwendet wird, und wenn bestimmte Einschränkungen für die Lösung vorgegeben werden. Ein Beitrag dieses Projekts besteht darin, zu zeigen, wie das LPV-Modellreduktionsproblem in einer Form ausgedrückt werden kann, die sich für die Anwendung der oben genannten Idee eignet. Die Vorteile dieses Ansatzes wurden in numerischen Studien anhand eines Mehrfach- Feder-Masse-Dämpfer-Systems mit einstellbarer Komplexität als Benchmark demonstriert. In diesen Studien wurde gezeigt, dass der vorschlagene gitterfreie Ansatz die Größe von LPV-Systemen, die innerhalb vorgegebener Rechenzeitgrenzen reduziert werden können, im Vergleich zu bestehenden gitterbasierten Methoden drastisch erweitert. Während der erste Beitrag des Projekts darauf abzielt, die Gitterung des Parameterraums zu vermeiden, zielt ein zweiter Beitrag darauf ab, die Koordinatentransformation des Zustandsraums zu vermeiden, auf der die gängigen linearen Reduktionstechniken basieren. Dies kann erreicht werden, indem das Modellreduktionsproblem als fiktives optimales Reglerentwurfsproblem formuliert wird und fixed-structure-Synthese-Werkzeuge für LPV-Systeme zur Lösung eingesetzt werden. Dies hat zwei Vorteile: Durch die Lösung eines fiktiven L2-Reglerentwurfproblems kann eine Obergrenze für die induzierte L2-Norm des Modellierungsfehlers direkt minimiert werden, anstatt sie nachträglich bewerten zu müssen. Und zweitens ermöglicht die Formulierung des Reduktionsproblems als Problem der Synthese eines Reglers mit vorgegebener Struktur, zusätzlich zu einer niedrigen Ordnung eine gewünschte Struktur für das reduzierte Modell vorzugeben. Dies kann in Fällen genutzt werden, in denen das ursprüngliche Modell eine bestimmte Struktur in seinem Eingangs- Ausgangs-Verhalten aufweist, die im reduzierten Modell erhalten bleiben soll. Oder es kann gewünscht sein, dem reduzierten Modell eine bestimmte Struktur vorzugeben, beispielsweise in Anwendungsbereichen wie der aktiven aeroservoelastischen Regelung, wo reduzierte Modelle in einer kanonischen Modalform angestrebt werden. Ein zweites Ergebnis dieses Projekts ist somit eine Methode zur LPV-Modellordnungsreduktion, bei der nicht nur die Ordnung, sondern auch beliebige gewünschte strukturelle Merkmale dem reduzierten Zustandsraummodell auferlegt werden können. Die Praktikabilität dieses Ansatzes wurde wiederum in numerischen Studien zu einem Benchmark-Problem demonstriert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Grid-free model order reduction for linear parameter-varying systems via full-block S procedure, Proceedings of the European Control Conference, 1579- 1584, 2020
L. Heeren & H. Werner
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Grid-free constraints for parameter-dependent generalised Gramians via full-block S procedure, Proceedings of the European Control Conference, 1073- 1078, 2022
L. Heeren & H. Werner
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Transformation-free fixed-structure model reduction for LPV systems
L. Heeren, A. Datar, A.M. Gonzalez & H. Werner
