Abgeleitete Geometrie und Arithmetik

• Antragsteller: Dr. Federico Bambozzi, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 414260436

Eine der neuesten Entwicklungen in der Erforschung des p-adischen Langlands-Programms ist das Einbringen von geometrischen Überlegungen, also von Konzepten und Intuitionen zu Themen, die klassischerweise der Algebra zugerechnet wurden. Die wohl interessanteste und einflussreichste dieser Entwicklungen ist die Theorie der Fargues-Fontaine-Kurve. Diese Kurve erlaubt es, lokale Galois-Darstellungen (Objekte algebraischer Natur) als ein spezifisches Vektorbündel auf einem geometrischen Objekt (technisch gesehen ein Schema) zu interpretieren (obwohl dieses Schema nicht endlichen Typs ist). Dieses Schema hat viele formale Eigenschaften, die an eine projektive Kurve von Geschlecht 0 erinnern.Mein Projekt zielt darauf ab, ähnliche Fragen aus einem globalen Blickwinkel heraus zu untersuchen. Neue Fortschritte, die ich mit meinen Kollegen gemacht habe, weisen darauf hin, dass die lokale Theorie der Fargues-Fontaine-Kurve ein lokaler Schatten einer vereinheitlichten Theorie ist, die nicht nur in der p-adischen Geometrie relevant ist, sondern sich auch auf klassische Themen wie die Dirichletreihen komplexer Geometrie bezieht.Aufbauend auf unserer bisherigen Arbeit zielt das Projekt auf drei Hauptziele ab:1) den Abschluss der Grundlagen der bornologischen Homotopietheorie, insbesondere durch die Entwicklung der Theorie der bornologischen Spektren und der relativen spektralen Geometrie als eine homotopische Verallgemeinerung der klassischen analytischen Geometrie;2) die weitere Untersuchung davon, wie unsere Ideen zum Verständnis der Hodge-Theorie (sowohl komplex als auch p-adisch) helfen könnten - insbesondere um die Beziehungen zwischen unserer archimedischen Fargues-Fontaine-Kurve und der von Carlos Simpson definierten Twistor-Kurve zu verstehen;3) das Studium des Topologische-Hochschild-Homologie-Funktor (THH) in diesem Zusammenhang.Um das zweite und das dritte Ziel zu erreichen, möchten wir insbesondere den Begriff des globalen (φ, Γ) -Moduls verwenden, der eine globale Version des (φ, Γ) -Moduls ist, die man in der p-adischen Hodge-Theorie studiert. Wir erwarten, dass die Komologiegruppen der arithmetischen Varietäten die kanonische Struktur eines globalen (φ, Γ) -Moduls in Analogie zu der Tatsache haben, dass Varietäten über ℚ_p die Struktur eines klassischen (φ, Γ) -Moduls haben. Auf diese Weise erwarten wir zum Beispiel, dass wir die Kategorien der Darstellungen der lokalen Galois-Gruppen aus rein globalen Daten durch Spezialisierungen bei Primzahlen rekonstruieren können. Darüber hinaus erwarten wir dass der THH-Funktor, vermöge der Konstruktion des Tate-Spektrums, auf natürliche Weise Werte in der abgeleiteten Kategorie des globalen (φ, Γ) -Moduls annimt; denn die Tate-Kohomologie von THH ist für alle Primzahlen p mit einer Wirkung aller Frobenii φ_p ausgestattet. Diese Methoden können zum Verständnis der Kohomologie arithmetischer Varietäten und einiger damit zusammenhängender offener Probleme wie der Mazur-Fontaine-Vermutung beitragen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Yakov Kremnizer