Fixpunkte und Entropie von Morphismen auf Varietäten von Kodaira-Dimension Null

• Antragsteller: Dr. Thorsten Herrig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415052336

Die große Bedeutung der Fixpunkte von Abbildungen wird durch eine Vielzahl an Fixpunktformeln belegt. Durch das Einnehmen einer asymptotischen Perspektive können Fixpunktuntersuchungen wesentlich zur Klassifikation von Morphismen auf algebraischem Varietäten beitragen - letztere ist ein wichtiges allgemeines Ziel der Algebraischen Geometrie. Zusätzlich eröffnet der asymptotische Ansatz neue Einblicke in die Wirkungen auf den Kohomologiegruppen. Hierin liegt eine wichtige Verbindung zur Theorie komplexer Dynamischer Systeme, denn die Entropie der Morphismen wird genau auf dieser Ebene studiert und berechnet. Die Entropie, eine Invariante dieser Systeme, ist ein Maß dafür, wie chaotisch diese sind, und ist in jüngster Zeit vor allem auf algebraischen Flächen und abelschen Varietäten in den Fokus der Forschung gerückt. Das Interesse liegt insbesondere darin, zu bestimmen, welche Morphismen positive Entropie haben und welche Entropie-Werte dabei genau auftreten.In diesem Projekt sollen für Morphismen auf Varietäten von Kodaira-Dimension Null einerseits die Typen des asymptotischen Fixpunktverhaltens und andererseits die Entropiewerte klassifiziert werden. Aufgrund deren inhaltlicher Verknüpfung sollen Erkenntnisse auf der einen Seite jeweils fruchtbar für die andere gemacht werden. Konkret sollen dabei Bedingungen an die Morphismen gefunden werden, durch die das genaue Fixpunktverhalten und der Entropiewert angegeben werden können. Folgende drei Teilprojekte sind geplant: (1) Fixpunkte und Entropie einfacher abelscher Varietäten: Geometrische Verteilung der Fixpunkte, Fixpunkte und Entropie auf abelschen Varietäten mit total indefiniter Quaternionenmultiplikation und auf abelschen Varietäten mit Endomorphismenalgebra von der zweiten Art (2) Fixpunkte und Entropie auf Varietäten von Kodaira-Dimension Null (K3-Flächen, Enriques-Flächen, hyperelliptische Flächen) (3) Entropie birationaler Morphismen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Robert Lazarsfeld, Ph.D.