Fixed Points and Entropy of Morphisms on Varieties of Kodaira Dimension Zero
Final Report Abstract
Eine asymptotische Sichtweise einzunehmen, hat sich in den letzten Jahren in der Algebraischen Geometrie als vielversprechender Ansatz herausgestellt. Dieses Projekt beleuchtet das asymptotische Wachstum der Anzahl der Fixpunkte von Morphismen auf Varietäten. Ein solches Objekt mit einer Selbstabbildung kann ebenso als dynamisches System interpretiert werden. Dieses Projekt zielt daher darauf, eine Brücke zur komplexen Dynamik zu schlagen, um mithilfe von Erkenntnissen zum Fixpunktverhalten Aussagen über die Entropie dieser Morphismen zu machen. Die Entropie ist eine fundamentale Invariante dynamischer Systeme, die angibt, wie chaotisch sich diese unter Iteration der Selbstabbildung verhalten. Im Flächenfall zeigen Diller, Favre und Blanc, Cantat, dass positive Entropie von Automorphismen und birationalen Morphismen stets mit Pisot- und Salem-Zahlen einhergeht. Die Existenz von Automorphismen mit Salem-Entropie auf K3-, Enriques- und abelschen Flächen belegen unter anderem Arbeiten von Dolgachev, McMullen, Oguiso, Yu, Matsumoto, Ohashi, Rams und Reschke. In höheren Dimensionen und insbesondere für einfache abelsche Varietäten war die Klassifikation der Automorphismen positiver Entropie und die Frage nach der Existenz von Salem-Zahlen hingegen noch offen. Arbeiten des Antragstellers ergeben, dass Automorphismen mit Salem-Entropie nur auf einfachen abelschen Varietäten mit total indefiniter Quaternionenmultiplikation und von der zweiten Art auftreten können. In Kollaboration mit Ngyuen-Bac Dang gebe ich in diesem Projekt für beliebige Dimension eine Konstruktion von Automorphismen mit Salem-Entropie auf einfachen abelschen Varietäten an, die auf den beiden genannten Typen greift. Um Shimuras Theorie anwenden zu können, konstruieren wir mithilfe eines lokal-global Prinzips für Quaternionenalgebren und des Tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes für Primideale eine spezielle Quaternionenalgebra, die einen Schiefkörper darstellt und als Endomorphismenalgebra interpretiert werden kann. Die Entropie bestimmen wir mithilfe der bekannten Formel von Gromov und Yomdin in Verbindung mit zwei speziellen Versionen der Holomorphen Lefschetz Fixpunktformel. Über die Planung des Projekts hinaus umfassen unsere Resultate zusätzlich die genaue Angabe der dynamischen Grade der Automorphismen, die gemäß der Khovanskii-Teissier-Ungleichungen eine log-konkave Folge bilden. Mit Blick auf Arbeiten von Americk, Campana, Oguiso, Ghioca und Scanlon liefern unsere Konstruktionen Abbildungen, die nicht fasererhaltend sind. Für abelsche Varietäten von Dimensionen kleiner oder gleich vier klassifizieren wir alle Konstellationen der dynamischen Grade und weisen damit ergodische Eigenschaften nach, beispielsweise wann wir ein eindeutiges und invariantes Haarsches Maß zu einer Funktion erhalten. In einem weiteren Teil des Projekts, der noch in Bearbeitung ist, habe ich eine Version der Holomorphen Lefschetz Fixpunktformel für komplexe Tori auf Kummer und anschließend glatte Kummer-Varietäten erweitert. Unter Gebrauch des Torelli-Theorems, der Lefschetz-Zahl und Ergebnissen von McMullen zur Entropie auf K3-Flächen sollen damit Erkenntnisse über das Fixpunktverhalten von Abbildungen auf diesen Flächen präzisiert und spezielle Beispiele von Automorphismen mit Salem-Entropie konstruiert werden. Ergebnisse sollen schließlich das weitere Studium von Enriques-Flächen motivieren.
Publications
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Dynamical degrees of automorphisms on abelian varieties. 2020
Thorsten Herrig, Nguyen-Bac Dang
