Aperiodische Ordnung und fastperiodische Maße
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des Projektes war die Erarbeitung eines besseren Verständnisse der Begriffe Ordnung bzw. Unordnung von Punktmengen im Raum. Dazu wurden das Diffraktionsmaß γ und die Autokorrelation γ (mit der zugehörigen Eberlein-Zerlegung) des der Punktmenge modellierenden Maßes µ genauer untersucht. Wie sich herausstellte, kann man den geordneten Anteil (γ)pp mit Hilfe des Begriffs der Fastperiodizität im Mittel genau charakterisieren, siehe Theorem 2. Damit ist aus Sicht der Maßtheorie/ Funktionalanalysis/ Harmonischen Analysis der geordnete Anteil verstanden. Zudem konnten mit Hilfe der Besicovitch-Fastperiodizität und der Weyl-Fastperiodizität zwei weitere wichtige Probleme beantwortet werden, siehe Theorem 3 und Theorem 4. Dabei geht es um das (gleichmäßige) Phasenproblem, d.h. die Frage, wann die Formel γ({χ}) = |aχ (µ)|2 gilt, die uns eine explizite Berechnung des reinen Punktanteils des Diffraktionsmaßes ermöglicht. In Analogie zum Diffraktionsmaß lassen sich auch dynamische Systeme translationsbeschränkter Maße mittels der Fastperiodizität im Mittel charakterisieren, siehe Theorem 6. Dieses Resultat kann sogar auf beliebige metrische dynamische Systeme verallgemeinert werden, Theorem 7. Auch in diesem Fall liefert die Weyl-Fastperiodizität wieder eine stärkere Aussage. Genauer gesagt gibt einem die Existenz eines Weyl-fastperiodischen Punktes nicht nur ein reines Punktspektrum, sondern auch stetige Eigenfunktionen und ein eindeutiges ergodisches Maß, Theorem 9. Im nächten Schritt soll nun (nach Abschluss des Projektes) versucht werden, diese abstrakten Ergebnisse konkret auf wichtige Beispielklassen anzuwenden. Der Schwerpunkt liegt hier auf Punktmengen im eindimensionalen Raum, die mit Hilfe sogennanter Substitutionsregeln konstruiert werden. Es besteht die Hoffnung dadurch Fortschritte bei der "Pisot substitution conjecture" zu machen, die besagt, dass jede Pisot-Substitution mit irreduziblem charakteristisches Polynom ein reines Punktspektrum besitzt. Der geordnete Anteil des Diffraktionsspektrums ist zwar nun charakterisiert, doch das gilt nicht für den stetigen Anteil. Erste Fortschritte wurden hier mit Hilfe von Varianten der verallgemeinerten Eberlein-Zerlegung erzielt. Wir haben jetzt nicht nur eine Zerlegung des Autokorrelationsmaßes in Distributionen endlicher Ordnung (Theorem 11) bzw. in Halbmaße (Theorem 12), sondern konnten auch eine große Klasse von Mengen mit gleichmäßig diskretem Träger charakterisieren, deren Fourier-Transformation absolutstetig ist (Theorem 13). Es lässt sich somit zusammenfassen, dass die Zusammenarbeit mit dem Gastgeber Dr. Nicolae Strungaru sehr erfolgreich verlaufen ist und zu neuen Projekten geführt hat.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Pure point diffraction and mean, Besicovitch and Weyl almost periodicity
D. Lenz, T. Spindeler und N. Strungaru
-
Pure point spectrum for dynamical systems and mean almost periodicity
D. Lenz, T. Spindeler und N. Strungaru
-
On eigenmeasures under Fourier transform
M. Baake, T. Spindeler und N. Strungaru
-
On norm almost periodic measures, Math. Z.
Spindeler, Timo & Strungaru, Nicolae
-
On the (dis)continuity of the Fourier transform of measures, J. Math. Anal. Appl., 499(2) (2021), 125062
Spindeler, Timo & Strungaru, Nicolae
-
Tempered distributions with translation bounded measure as Fourier transform and the generalized Eberlein decomposition
T. Spindeler und N. Strungaru
