Aperiodische Ordnung und fastperiodische Maße

• Antragsteller: Dr. Timo Spindeler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415818660

Seit der Entdeckung der Quasikristalle im Jahr 1982 durch Dan Shechtman sind Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler verschiedenster naturwissenschaftlicher Disziplinen daran interessiert, die unterschiedlichen Formen und Grade von Ordnung und Unordnung in Festkörpern, die nicht so perfekt angeordnet sind wie Kristalle, zu verstehen. Mathematiker beschreiben den Ausgang des Beugungsexperimentes, das ein charakteristisches Muster auf einem Bildschirm erzeugt, mit Hilfe des sogenannten Diffraktionsmaßes, das die innere Ordnung des Quasikristalls misst. Die beiden essentiellen Bestandteile dieses Maßes, der reine Punktanteil und der stetige Anteil, sind dabei Indikatoren für Ordnung bzw. Unordnung. Mittlerweile hat man Systeme, die zu einem reinen Punktanteil führen, gut verstanden. Jedoch ist bisher wenig bekannt, wenn (zusätzlich oder ausschließlich) ein stetiger Anteil auftritt. Das Ziel des geplanten Projektes ist daher zweierlei. Es sollen auf der einen Seite konkrete Systeme, die stetige Anteile enthalten, im Detail untersucht werden. Auf der anderen Seite soll mittels abstrakter Methoden der stetige Anteil besser verstanden werden. Hier ist bekannt, dass er aus zwei Komponenten besteht, dem absolutstetigem Anteil und dem singulärstetigem Anteil. Allerdings ist im Allgemeinen nicht bekannt, wie diese beiden Anteile des Diffraktionsmaßes zu ermitteln bzw. zu charakterisieren sind. Hierzu werden in dem Projekt die Eigenschaften fastperiodischer Maße, die zur Konstruktion des Diffraktionsmaßes benötigt werden, genau studiert. Dabei sollen die Resultate gleich für allgemeinere lokal-kompakte abelsche Gruppen bewiesen werden, da dies ein natürlicher Rahmen aus mathematischer Sicht ist. Zudem führt dieses Projekt einen Schritt weiter zum Verständnis des inversen Problems: Kann man anhand des Diffraktionsmaßes (bzw. Beugungsmusters) die zu untersuchende Struktur eindeutig bestimmen? Die Antwort lautet im Allgemeinen ‘nein’, da unterschiedliche Anordnungen zum selben Diffraktionsmaß führen können. Daher setzt man sich zum Ziel, aus dem Diffraktionsmaß so viel Informationen wie möglich über das zu Grunde liegende System zu gewinnen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Kanada
• Gastgeber: Professor Dr. Nicolae Strungaru