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Modellierung und mathematische Analyse geometrisch nichtlinearer Cosseratschalen mit Effekten höherer Ordnung und Eigenspannungen

Fachliche Zuordnung Mathematik
Mechanik
Förderung Förderung von 2018 bis 2023
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415894848
 
Erstellungsjahr 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Wir haben neue geometrisch nichtlineare Cosserat-Schalenmodelle untersucht, die Effekte bis zur Ordnung h5 in der Dicke h berücksichtigen. Das isotrope Modell sollte gleichzeitig Membran-, Biege- und Krümmungseffekte kombinieren. Das Cosserat-Modell umfasst natürlich einen Rahmen orthogonaler Richtungen, von denen die letzte nicht notwendigerweise mit der Normalen der Oberfläche zusammenfällt. Dieses Rotationsfeld ist an die Schalenverformung gekoppelt und ergänzt die bekannte Reissner-Mindlin-Kinematik (ein unabhängiger Direktor) um so genannte in-plane Drill-Rotationen. Das Hauptziel besteht darin, Modelle höherer Ordnung zu formulieren, die in der Lage sind, zusätzliche detaillierte geometrische und topologische Effekte der ursprünglich gekrümmten Schale zu erfassen und mehr Informationen über die ursprünglich betrachtete dreidimensionale Domäne einzubeziehen (die in einem Schalenmodell mit Effekten bis zu h3 weggelassen werden), die Wohlgeformtheit und die Genauigkeit dieser Modelle zu untersuchen und sie mit den bereits vorhandenen Ansätzen zu vergleichen. Die Methode, die wir in der geplanten ersten Phase des Projekts anwenden, ist ein gebildeter Ansatz für die dreidimensionale elastische Schalenverformung mit analytischer Dickenintegration, der dazu führt, dass wir vollständig zweidimensionale Gleichungssätze in Variationsform erhalten. Der schrittweise Ansatz, den wir verfolgen, ermöglicht uns eine transparente Annäherung an das dreidimensionale Elternproblem. Dieses Programm wurde bereits erfolgreich für das Plattenmodell (flache Schale) verfolgt, und es wurde gezeigt, dass in diesem Fall ein quadratischer Ansatz in Dickenrichtung nicht zu Termen der Ordnung O(h5 ) führt. Diese Effekte höherer Ordnung werden nur dann wichtig, wenn eine gekrümmte Ausgangskonfiguration der Schale betrachtet wird; es ist plausibel, eine Bevorzugung der Schalenverformung für bestimmte Richtungen in Abhängigkeit von der anfänglich gegebenen Krümmung der Schale anzunehmen. Das rein elastische nichtlineare Cosserat-Schalenmodell wird auch auf multiplikative Plastizität erweitert. Dies hat es uns ermöglicht, das Problem der Eigenspannungseffekte anzugehen, die bei Konstruktionskontrollproblemen von dreidimensionalen Nano-Objekten Anwendung finden, Situationen, in denen ein Modell bis zur Ordnung O(h5 ) wesentlich sein kann. Da der betrachtete Ansatz quadratisch in Bezug auf die Dicke ist, wird die Lösung des resultierenden zweidimensionalen Schalenproblems eine sehr gute Annäherung an das ursprünglich betrachtete dreidimensionale Problem bieten können. Die mathematische Wohlgeformtheit für solche gekrümmten Schalenmodelle war völlig offen. Wir beabsichtigen, den ersten allgemeinen Existenzbeweis zu formulieren. Die Ähnlichkeiten mit und Unterschiede zu existierenden Schalenmodellen, die hauptsächlich auf der Kirchhoff-Love-Normalitätsannahme basieren, sowie die Konsistenz mit linearen Schalenmodellen werden diskutiert. Es wird gezeigt, dass die elastischen Schalenmodelle gut gelöst sind. Die Formulierungen wurden zunächst in Matrixnotation angegeben, um die FEM-Implementierung zu vereinfachen und die mathematische Behandlung zu erleichtern, da die Struktur der Gleichungen näher an der 3D-Formulierung liegt. Die größten Herausforderungen waren die Kopplung der geometrischen Nichtlinearitäten mit der ursprünglichen Topologie der Schale und der Geometrie der Gruppe SO(3) für den zusätzlichen orthogonalen Rahmen sowie die physikalische Nichtlinearität in der plastischen Kopplung. Wie geplant haben wir neue wesentliche Erkenntnisse über das Verformungsverhalten von dünnen Strukturen gewonnen. Die daraus resultierenden Wohlgeformtheitsprobleme erfordern neue mathematische Werkzeuge, z.B. neue Ungleichungen vom Korn-Typ.

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