Analysis der maximalen a posteriori Schätzwerten: Gemeinsame Konvergenztheorien für Bayes'sche und variationelle inverse Probleme

• Antragsteller: Professor Dr. Timothy Sullivan, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415980428

Dieses Projekt befasst sich mit einem mathematischen Problem von grundlegender Wichtigkeit in modernen Anwendungen, die auf der genauen Berechnung von Punkten maximaler Wahrscheinlichkeit beruhen, sogenannten Modi oder maximum-a-posteriori Schätzern. Maximum-a-posteriori Schätzer treten in Modellen chemischer Reaktionen und in inversen Problemen von weitreichender Bedeutung wie der medizinischen Bildgebung, der Wetter- und Klimaprognose und des maschinellen Lernens auf. Das hier vorgestellte Forschungsprojekt wird die notwendige mathematische Analyse liefern, um die rigorose Behandlung dieser Punkte in unendlich-dimensionalen Räumen zu ermöglichen, wie sie für moderne Anwendungen benötigt werden.Die vollständige Lösung für eine Reaktionsgleichung oder ein inverses Problem dieser Art ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Reaktionspfade, Bilder, Wetterzustände u.s.w. Da diese Verteilung jedoch im Allgemeinen schwer zu handhaben ist, muss sie häufig zusammengefasst werden, oft durch einen einzigen Punkt. Neben Statistiken wie Mittelwerten und Kovarianzen ist der Modus eine häufig verwendete Zusammenfassung dieses Typs. Der Modus bezeichnet einen "wahrscheinlichsten" Punkt bzgl. der Verteilung. Im modernen Fall der unendlich-dimensionalen Räume, z.B. des Raums aller Wind- und Temperaturfelder des ganzen Globus, ist eine rigorose Definition solcher Modi schwierig. Darüber hinaus gibt es derzeit eine fundamentale Diskrepanz zwischen der Definition von Modi unter Verwendung von Best-Fit-Minimierungsproblemen und der vollständig Bayes'schen Sicht: während ein Modus eindeutig eine grobe Zusammenfassung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, reichen sogar die stärksten derzeit bekannten Begriffe der Ähnlichkeit zwischen Wahrscheinlichkeiten nicht aus, um eine gute Annäherung dieser vermeintlich einfachen Zusammenfassungen zu gewährleisten.Das vorgeschlagene Projekt wird die fehlende Analyse zur Überbrückung dieser Lücke liefern, indem es jüngste Fortschritte in der Theorie inverser Probleme mit den Werkzeugen der Gamma-Konvergenz aus der Variationsrechnung kombiniert. Hierdurch ergibt sich eine solide mathematische Basis für die Lösung und Approximation von maximum-a-posteriori Schätzproblemen. Das Projekt wird somit robuste, diskretisierungsinvariante Lösungen für inverse Probleme liefern, die sowohl statistisch rigorose Bedeutung haben als auch den Bedürfnissen von Entscheidern sinnvoll entsprechen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Finnland, Großbritannien, Zypern
• Kooperationspartner: Dr. Sergios Agapiou; Dr. Tapio Helin