Topologische Eigenschaften von algebraischen Varietäten

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Schreieder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 416054549

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In der algebraischen Geometrie werden algebraische Varietäten, also Lösungsmengen von polynomiellen Gleichungen, wie etwa der Kreisgleichung x2 + y 2 = 1, untersucht. Geometrische Eigenschaften, etwa die Anzahl und Art von bestimmten Untervarietäten (z. B. Geraden oder Ebenen), hängen sehr direkt mit den polynomiellen Gleichungen zusammen: Ändert man die Koeffizienten der Gleichungen leicht, so ändert sich in der Regel auch die Geometrie der beschreibenden Varietät. Dies ist nicht der Fall für topologische Eigenschaften: hier zählt man etwa die Anzahl der Zusammenhangskomponenten, oder die Anzahl der Löcher einer geometrischen Figur. Ändert man die Figur leicht, bleiben diese Eigenschaften unverändert. Ziel dieses Projekts war es, das Zusammenspiel zwischen der Geometrie und der Topologie von algebraischen Varietäten zu untersuchen. Unsere Hauptergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1) Geometrische Eigenschaften von algebraischen Varietäten werden oft anhand der sogenannten Hodge-Zahlen kodiert. Diese Zahlen sind deformationsinvariant, aber in der Regel keine topologische Invarianten. Ein zentrales offenes Problem ist das Konstruktionsproblem, also die Frage welche Zahlen als Hodge-Zahlen auftreten. In diesem Projekt konnten wir das Konstruktionsproblem für Hodge-Zahlen modulo einer positiven ganzen Zahl sowohl in Charakteristik null als auch in positiver Charakteristik lösen. 2) Eine weitere wichtige geometrische Invariante einer algebraischen Varietät sind die holomorphen Differentialformen darauf; die Anzahl der linear unabhängigen p-Formen stimmt zum Beispiel per Definition mit der Hodge-Zahl hp,0 überein. Holomorphe Differentialformen sind geometrische Invarianten, die im Allgemeinen nicht durch die zugrunde liegende Topologie bestimmt sind. Kotschick vermutete aber, dass die Existenz einer holomorphen 1-Form ohne Nullstellen tatsächlich nur von der Topologie der Varietät abhängt. Dies ist eine weitreichende und schwierige Vermutung. In diesem Projekt konnten wir Kotschicks Vermutung in Dimension ≤ 3 beweisen und eine vollständige Klassifikation aller entsprechenden Varietäten in Dimension ≤ 3 angeben. 3) Chern-Zahlen von algebraischen Varietäten sind im Allgemeinen geometrische Invarianten. Diese Zahlen erfüllen oft bestimmte Ungleichungen. So gilt zum Beispiel für jedes minimale Modell X einer glatten projektiven Varietät die Bogomolov–Miyaoka–Yau Ungleichung: (−1)n cn−2 c2 (X) ≥ (−1)n /2n+2 cn (X). Yau zeigte als Konsequenz seines Beweises der Calabi-Vermutung, dass für X glatt von allgemeinem Typ Gleichheit in dieser Ungleichung genau dann auftritt, wenn X ein Quotient eines Balles ist. Eine analoge Klassifikation im Fall von minimalen Modellen, die nicht von allgemeinem Typ sind, blieb offen. In diesem Projekt konnten wir aufbauend auf den in 2) entwickelten Ideen dieses Problem in beliebiger Dimension lösen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• The construction problem for Hodge numbers modulo an integer. Algebra & Number Theory, 13(10), 2427-2434.
  Paulsen, Matthias & Schreieder, Stefan
  
• The construction problem for Hodge numbers modulo an integer in positive characteristic. Forum of Mathematics, Sigma, 8.
  van Dobben de Bruyn, Remy & Paulsen, Matthias
  
• Zeros of Holomorphic One-Forms and Topology of Kähler Manifolds. International Mathematics Research Notices, 2021(8), 6169-6183.
  Schreieder, Stefan
  
• Equality in the Bogomolov–Miyaoka–Yau inequality in the non-general type case. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2021(775), 87-115.
  Hao, Feng & Schreieder, Stefan
  
• Holomorphic one-forms without zeros on threefolds. Geometry & Topology, 25(1), 409-444.
  Hao, Feng & Schreieder, Stefan
  
• On the degree of algebraic cycles on hypersurfaces. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2022(790), 137-148.
  Paulsen, Matthias