Simultanes Schätzen von Rauschpegel und Lösungsglattheit bei schlecht gestellten Problemen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Inverse Probleme sind oft schlecht gestellt, speziell nicht stetig invertierbar so dass kleinste Messfehler zu beliebig großen Rekonstruktionsfehlern führen können. Viele Algorithmen wurden entwickelt um die Rekonstruktion zu stabilisieren, und theoretische Resultate garantieren nicht nur die Stabilität des Rekonstruktionsprozesses, sondern liefern auch Grenzen für den größtmöglichen Fehler und Regeln zur Wahl des Regularisierungsparameters, welcher die Balance zwischen Stabilität und Genauigkeit regelt. Die Theorie beruht jedoch auf Annahmen zur unbekannten Lösung und dem Rauschlevel, welche in der Praxis meist unrealistisch sind. Hauptziel dieses Projektes war es, eine Methode zu entwickeln, um sowohl das Rauschlevel als auch den Parameter in einer Quellbedingung aus den Daten zu extrahieren. Dies wurde erreicht, und weitere interessante Ergebnisse entstanden auf dem Weg dahin. Im Projekt wurde eine neue Doktrin zum Verständnis inverser Probleme entwickelt. Danach versteht man Regularisierung als Approximation der Unbekannten in hinreichend glatten Räumen. Dies lässt sich in gewissem Maß auf die Messdaten ausweiten, was wiederum genutzt werden kann um versteckte Parameter zu enthüllen. Unter Annahme der klassischen Quellbedingung für lineare inverse Probleme in Hilberträumen wurde gezeigt, dass die Residuen welche für Rekonstruktionen mit klassischer Tikhonov-Regularisierung für eine Vielzahl von Regularisierungsparametern berechnet wurden, einem bestimmtem Muster folgen aus dem sowohl das Messrauschen als auch die Lösungsglattheit extrahiert werden können. Die neue Doktrin führte auch zu neuen Regeln zur Regularisierunsparameterwahl, ferner dazu zeigen zu können dass viele dieser Regeln äquivalent sind, und in den Augen des Autors einfachere Herleitung der klassischen Konvergenztheorie. Das Projekt lieferte damit signikante Beiträge zu Theorie und numerischer Realität inverser Probleme. In einem Unterprojekt zum Hausdorffschen Momementenproblem wurde zusätzlich gezeigt wie kompliziert und manchmal scheinbar unvereinbar Theorie und Numerik dieser Problemklasse sein können.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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The Kurdyka–Łojasiewicz Inequality as Regularity Condition. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 257-274. Springer Singapore.
Gerth, Daniel & Kindermann, Stefan
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A new interpretation of (Tikhonov) regularization. Inverse Problems, 37(6), 064002.
Gerth, Daniel
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Estimating Solution Smoothness and Data Noise with Tikhonov Regularization. Numerical Functional Analysis and Optimization, 43(1), 88-115.
Gerth, Daniel & Ramlau, Ronny
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THE HAUSDORFF MOMENT PROBLEM IN THE LIGHT OF ILL-POSEDNESS OF TYPE I. Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 9(2), 57-87.
Gerth, Daniel; Hofmann, Bernd; Hofmann, Christopher & Kindermann, Stefan
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A note on numerical singular values of compositions with non-compact operators. ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis, 57, 57-66.
Gerth, Daniel
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A NOTE ON OPEN QUESTIONS ASKED TO ANALYSIS AND NUMERICS CONCERNING THE HAUSDORFF MOMENT PROBLEM. Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 10(1), 40-50.
Gerth, D. & Hofmann; B.
