Adaptive und parallele Algorithmen zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten auf dünnen Gittern
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Finite-Elemente-Verfahren werden verwendet um partielle Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Sie zeichnen sich durch eine hohe Genauigkeit und eine genaue Konvergenztheorie aus. Bei partiellen Differentialgleichungen höherer Dimension d>3 können sie jedoch effizient kaum angewendet werden, da der Rechenaufwand mit der Ordnung O(Nd) ansteigt, wobei N die Anzahl der Unbekannten in einer Raumrichtung ist. Klassische Parallelisierungstechniken, wie der Gebietszerlegung sind bei höheren Dimensionen sehr ineffizient, so dass diese eine Reduzierung des Rechenaufwandes nicht ermöglichen. Durch einen hierarchischen Ansatz kann der Rechenaufwand in höheren Dimensionen theoretisch wesentlich verringert werden. Dieser führt zu sogenannten dünnen Gittern, die nur O(N log(N)d-1) Gitterpunkte im Vergleich zu O(Nd) Gitterpunkten von klassischen vollen Finite-Elemente-Gittern besitzen. Es ist jedoch nicht trivial Algorithmen zu entwickeln, die numerisch partielle Differentialgleichungen mit einem Rechenaufwand von der gleichen Ordnung lösen. In früheren wissenschaftlichen Arbeiten wurden hierzu Algorithmen entwickelt, die nur bei einfachen Koeffizienten in der Differentialgleichung oder nur bei nicht adaptiven Gittern angewendet werden können. Im vorliegenden Forschungsprojekt wurden neuartige Algorithmen entwickelt, die eine wesentlich größere Anwendungsbreite ermöglichen. Zum einen konnten lokal adaptive dünne Gitter erzeugt werden, die auch eine Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten erlauben. Hierbei wurde das Konzept der Diskretisierung mit Semi-Orthogonalität mit Prewavelets als hierarchische Basisfunktionen geeignet erweitert. Schwierig ist insbesondere die Diskretisierung von allgemeinen variablen Koeffizienten. In vorherigen Arbeiten wurden bei numerischen Simulationen nur variable Koeffizienten betrachtet, die eine Tensorproduktstruktur aufweisen. Dadurch ist sowohl die Speicherung als auch die Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrizen wesentlich einfacher als bei allgemeinen variablen Koeffizienten. Der Grund für den hohen Rechenaufwand bei allgemeinen Koeffizienten ist die Anisotropie der Geometrie lokaler Steifigkeitselemente und dass die entstehende lokale Steifikeitsmatrix O((2d)2) = O(4d) Einträge besitzt. Diese Probleme wurden mit einen geeigneten Monte-Carlo-Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrizen gelöst. Um Simulationsergebnisse auch bei hohen Dimensionen d=4,6 zu erhalten wurden geeignete Parallelisierungstechniken für Hochleistungsrechner entwickelt. Die Simulationsergebnisse zeigen eine gute Konvergenz des Finite-Elemente-Verfahrens auch bei hohen Dimensionen d=4,6, bei schwierigen variablen Koeffizienten mit Singularitäten und bei Lösungen, die eine lokale adaptive Verfeinerung der Gitter verlangen.
Link zum Abschlussbericht
https://oa.tib.eu/renate/handle/123456789/23659
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Discretization of PDEs with variable coefficients using locally adaptive sparse grids. PAMM, 23(4).
Scherner‐Grießhammer, Riccarda & Pflaum, Christoph
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Solving PDEs With Variable Coefficients on Locally Adaptive Sparse Grids and Corresponding Refinement Strategies. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 350-359. Springer Nature Switzerland.
Scherner-Grießhammer, Riccarda & Pflaum, Christoph
