Explizite Geometrische Langlands-Korrespondenz für Starre Lokale Systeme

• Antragsteller: Dr. Konstantin Jakob
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 418779201

Das wohl bekannteste Beispiel eines starren lokalen Systems ist gegeben durch die Gauß’sche hypergeometrische Gleichung auf der komplex-projektiven Gerade P^1 punktiert an 0, 1 und unendlich. Starrheit bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Lösungsgarbe (ein lokales System), bis auf Isomorphie durch ihre lokale Monodromie an den fehlenden Punkten bestimmt ist. Die lokale Monodromie ist gegeben durch eine lineare Beziehung zwischen einer Fundamentallösung der Differentialgleichung und ihrer analytischen Fortsetzung entlang eines einfachen Pfades um den fehlenden Punkt. Diese Differentialgleichung hat die besondere Eigenschaft, dass alle ihre Singularitäten regulär singulär sind, d.h. ihre Lösungen erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen. Starre lokale Systeme, die von solchen regulär singulären Differentialgleichungen stammen, fanden bisher Anwendung in der inversen Galoistheorie und in der Konstruktion bestimmter Motive mit exzeptionellen motivischen Galoisgruppen. Allgemeiner kann man einen ähnlichen Begriff definieren für Differentialgleichungen bzw. Zusammenhänge auf trivialen Vektorbündeln, die nicht notwendigerweise regulär singulär sind. In diesem Fall ist so ein Zusammenhang starr, wenn seine Isomorphieklasse durch lokale formale Daten eindeutig bestimmt ist. Es gibt im Wesentlichen zwei Ansätze, starre Zusammenhänge bzw. über endlichen Körpern l-adische lokale Systeme zu konstruieren. Der erste Ansatz ist ein Satz von Katz & Arinkin, der besagt, dass jeder irreduzible starre Zusammenhang auf einer offenen Teilmenge des P^1 durch Anwendung einer Folge von Fourier-Laplace-Transformationen, Tensorieren mit Zusammenhängen vom Rang 1 und Koordinatenwechseln durch Möbiustransformationen konstruiert werden kann. Im regulären Fall genügt statt der Fourier-Laplace-Transformation die sogenannte mittlere Faltung nach Katz. Diese Methode wurde unter anderem von Dettweiler & Reiter benutzt, um zahm verzweigte l-adische lokale Systeme zu klassifizieren, deren Monodromiegruppe die einfache algebraische Gruppe vom Typ G_2 ist. Desweiteren benutzte Ich diese Methode um neue irreguläre Zusammenhänge mit Differentialgaloisgruppe G_2 zu konstruieren. Der zweite Ansatz von Heinloth, Ngô & Yun basiert auf dem geometrischen Langlands-Programm. Lokale Systeme werden als Eigensysteme von Hecke-Eigengarben auf einem Modulraum von G-Bündeln konstruiert. Genutzt wurde dies zur Konstruktion sogenannter Kloosterman-Garben für reduktive Gruppen und der Realisierung einiger exzeptioneller algebraischer Gruppen als Monodromiegruppen.Ziel dieses Projektes ist die Verallgemeinerung der Konstruktion von Heinloth, Ngô & Yun, um neue Klassen starrer lokaler Systeme zu erhalten. Ferner sollen einige bekannte Beispiele in dieser Konstruktion wiedergefunden werden. Insbesondere erhoffen wir uns eine automorphe Interpretation der hypergeometrischen Garben von Katz, die Verallgemeinerungen bzw. l-adische Analoga der oben genannten Gauß’schen hypergeometrischen Gleichung sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Zhiwei Yun