Variational Space-Time Elements
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurde ein vollständig neues Verfahren zur Simulation dynamischer Systeme entwickelt. Klassische Verfahren basieren auf der starken Form in der temporalen Dimension und diskretisieren diese mithilfe von finiten Differenzen Verfahren, den bekannten und vielfältigen Zeitschrittverfahren. Im Gegensatz zur temporalen Dimension werden die räumlichen Dimensionen auf Basis der schwachen Form mithilfe von finiten Elementen gelöst. In diesem Projekt haben wir diese künstliche Unterscheidung zwischen zeitlichen und räumlichen Dimensionen aufgehoben und verwenden finite Elemente im gesamten Raumzeit-Zylinder. Das resultierende Verfahren konnten wir sowohl auf kontinuumsmechanische Systeme unter großen Deformationen als auch im Rahmen von Mehrkörpersimulationen auf Starrkörper anwenden. Mit dem neuen Verfahren lassen sich auch bekannte Problemstellungen wie inverse Probleme oder zur Optimalsteuerung ebenfalls deutlich effizienter lösen. Die durchgängige Anwendung von finiten Elementen in Raum und Zeit ermöglichen eine Kommunikation in beide Richtungen, was gerade bei den genannten Systemen von erheblichem Vorteil ist und diese sich innerhalb weniger Newton-Raphson Iterationsschritte lösen lassen. Im Rahmen des Projektes mussten eine Reihe von Herausforderungen gelöst werden: Zum einen musste die Existenz einer eindeutigen Lösung sichergestellt werden, ohne die diskreten, mechanischen Bilanzgleichungen zu verändern. Das ermöglicht nun erstmalig die Verwendung von unstrukturierten Gittern im Raumzeit-Zylinder, so dass wir nun lokale Adaptivität nicht nur im Raum, sondern auch in der Zeit anwenden können. Zum anderen müssen nun alle Freiheitsgrade auf einmal gelöst werden. Aufgrund der starken Bewegungen, die ein Körper über die Zeit hinweg unterliegen kann, haben wir ein Zwei-Wege Armijo Backtracking Verfahren eingebaut, damit die Konvergenz des Newton-Raphson Verfahrens sicherstellt werden kann. Obwohl die hohe Anzahl der gleichzeitig zu lösenden Freiheitsgrade zunächst als Nachteil wirkt, ist es eine der zentralen Stärken des Ansatzes: Dieses Vorgehen ermöglicht die Anwendung moderner, parallel arbeitender Gleichungslöser wie Mehrgitterverfahren oder FETI, eine Anwendung, die bei klassischen Zeitschrittverfahren ausgeschlossen ist. Damit können moderne Computer-Architekturen weitaus besser ausgelastet werden, was zu einer Beschleunigung der Simulationen um bis zu einem Faktor von 8-10 führt; unter Verwendung lokaler Raumzeit Adaptivität wird der Faktor sogar noch höher. Selbst unter Berücksichtigung der optimierten Auslastung moderner CPU’s sinkt die notwendige Energie zur Simulation dynamischer Systeme dramatisch ab, was ein zentrales gesellschaftliches Ziel im Hinblick auf den Klimaschutz ist.
Publications
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Non‐linear space‐time elasticity. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 124(9), 1965-1990.
Schuß, S.; Glas, S. & Hesch, C.
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Space-time rigid multibody dynamics. Multibody System Dynamics, 61(3), 415-434.
Hesch, C.; Glas, S. & Schuß, S.
