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Projekt
Semi-Smooth Newton-Verfahren in Formenräumen
Antragstellerinnen / Antragsteller
Professor Dr. Volker Schulz; Professorin Dr. Kathrin Welker
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2019 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423771068
Das Projekt verfolgt einen neuen Ansatz, der es ermöglicht, Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen in Formenräumen analytisch zu untersuchen und numerisch zu lösen. Im Unterschied zu klassischen Problemen mit variationellen Beschränkungen, bei denen keine explizite Abhängigkeit von Gebieten vorhanden ist, ist die Untersuchung von Formoptimierungsproblemen mit variationellen Beschränkungen insbesondere aus zwei Gründen besonders anspruchsvoll: Erstens muss man notwendigerweise in nichtlinearen, nichtkonvexen und unendlichdimensionalen Formenräumen arbeiten. Zweitens ist weder ein beliebiges Zielfunktional, das von der Lösung einer Variationsungleichung abhängt, notwendigerweise formdifferenzierbar, noch kann man erwarten, dass die Formableitung als lineare Abbildung vorliegt. Dies führt dazu, dass zum Beispiel die Adjungierte zum vorliegenden Formoptimierungsproblem nicht definiert und somit das Problem nicht direkt ohne Regularisierungstechniken gelöst werden kann. Innerhalb des Projekts 'Optimierung variationeller Ungleichungen auf Form-Mannigfaltigkeiten' eines Schwerpunktprogramms wurden nicht nur theoretische Ergebnisse für Volumenformableitungen von Formoptimierungsproblemen, die durch das Obstacle Problem beschränkt sind, bereitgestellt, sondern es wurde auch ein effizienter Algorithmus zur Lösung dieser Probleme formuliert. Das vorliegende Projekt erweitert die im Projekt P20 entwickelten Ansätze auf allgemeine und im klassischen Sinn nicht formdifferenzierbare Probleme mit variationellen Beschränkungen. Die Hauptidee ist es, Newton-Formableitungen anstatt klassischen Formableitungen zu betrachten, um notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung formulieren zu können. Das Aufsetzen eines Newton-Formableitungskonzepts ist der Leitgedanke dieses Antrags. Mithilfe dieses Konzepts können Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen, die im klassischen Sinn nicht formdifferenzierbar sind, nicht nur analytisch und numerisch untersucht werden, sondern auch gelöst werden, ohne Regularisierungstechniken zu verwenden, die nicht selten nur zu approximativen Lösungen führen. Des Weiteren können Optimierungsmethoden höherer Ordnung wie z. B. semi-smooth Newton-Methoden auf Formenräumen formuliert werden. Die Ziele des Projekts hinsichtlich des Aufsetzens eines Newton-Formableitungskonzepts sind: problemangepasste Formulierung eines Formenraums, Existenz und Wohldefiniertheit von Lösungen inklusive Untersuchung von Stationaritätskonzepten, semi-smooth Newton-Verfahren in Formenräumen, gitterunabhängig konvergente Algorithmik, robuste Behandlung von Unsicherheiten und die Lösung von konkreten Anwendungsproblemen (z. B. im Kontext der (Thermo-)Mechanik). Darüber hinaus schafft das neue Konzept der Newton-Formableitung in Formenräumen einen Mehrwert auch für andere Projekte des Schwerpunktprogramms, die sich mit Formoptimierungsproblemen beschäftigen.
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