Neue Methoden in algebraischer K-theorie

• Antragsteller: Professor Dr. Markus Land
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 424239956

Algebraische K-theorie untersucht Ringe durch ihre projektiven Moduln und geometrische Objekte wie Schemata durch ihre Vektorbündel. Sie ist daher eng verknüpft zu Fragen in Algebra und in der algebraischen Geometrie. Die algebraische K-theorie von Gruppenringen spielt jedoch auch in der algebraischen Topologie, in dem Studium von Mannigfaltigkeiten, eine wichtige Rolle: Sie kann entscheiden, ob die beiden Ränder eines gegebenen h-cobordismus diffeomorph sind. Dieses Prinzip bildet die Grundlage der Chirurgietheorie, welche eine systematische Methode bietet Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren. Einer Vision Waldhausens zufolge ist die algebraische K-theorie eines spektralen Gruppenrings, einem Objekt der stabilen Homotopietheorie oder der höheren Algebra, eng verbunden mit der Gruppe der Diffeomorphismen einer Mannigfaltigkeit. Diese Vision ist eine der Grundlagen des Studiums der algebraischen K-theorie von Ring-Spektren.In dem hier beschriebenen Projekt soll auf der einen Seite neue Erkentnisse über Ausschneidungseigenschaften der algebraischen K-theorie gewonnen werden, sowie auf der anderen Seite eine Variante der algebraischen K-theorie mit Fragen der geometrischen Topologie verbunden werden. In dem ersten Teil geht es daher um strukturelle Eigenschaften der algebraischen K-theorie, dessen Erkenntnisse vor allen Dingen benutzt werden können, um neue konkrete Rechnungen von algebraischer K-theorie zu ermöglichen. Grundlage für den Zugang der in diesem Projekt erforscht werden soll ist ein Ergebnis von Tamme und mir, welches den Fehler von Ausschneidung effektiv beschreibt: Zu jedem Ausschneidungskontext konstruieren wir eine Abbildung von Ringspektrum, welche den Fehler für Ausschneidung bestimmt. Eines der beiden Ringspektren ist teil des Ausschneidungskontextes, während das andere neu aus dem Kontext konstruiert wird. Viele bekannte Sätze folgen allein aus den formalen Eigenschaften dieses neuen Ringspektrums. In dem Projekt geht es nun also darum, subtilere Erkenntnisse über dieses neue Ringspektrum zu gewinnen und auf Fragen in Aussschneidung und konkreten Berechnungen anzuwenden.In dem zweiten Teil des Projekts wollen wir algebraische und hermitesche algebraische K-theorie mit geometrischen Fragen verbinden. Die Grundlage hier bildet eine neue Konstruktion eines genuinen C_2-spektrums KR, genannt reelle algebraische K-theorie, dessen unterliegendes Spektrum algebraische K-theorie ist, dessen Fixpunkte, hermitsche K-theorie, eine Beschreibung als algebraische Kobordismuskategorie haben, und dessen geometrische Fixpunkte algebraische L-theorie sind. Ähnlich wie in Waldhausen's Vision, ist die reelle algebraische K-theorie von Ringspektren noch enger mit geometrische Fragen verwoben als die von gewöhnlichen Ringen. Die neue Konstruktion von KR erlaubt es, diese K-theorien zu studieren und Ziel dieses zweiten Teils des Projektes ist, aus diesem Studium Rückschlüsse auf Fragen in geometrischen Topologie zu ziehen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Dänemark
• Gastgeber: Professor Dr. Lars Hesselholt