New methods in algebraic K-theory
Final Report Abstract
Ziel des geförderten Projekts war Fortschritte im Feld der algebraischen und hermiteschen K-theorie zu erlangen. Die wesentlichen Fortschritte, die in der Förderperiode erreicht werden konnten waren die Folgenden: (1) Eine Serie von 3 Artikeln über einen neuen Zugang zu hermitescher K-theorie im Rahmen von stabilen unendlich Kategorien, gemeinsam mit Calmès, Dotto, Harpaz, Hebestreit, Moi, Nardin, Nikolaus und Steimle. Die Hauptresultate in diesen Arbeiten sind die Lösung einer Vermutung von Karoubi zu Periodizität in hermitescher K-theorie im Zusammenhang mit gewissen Form-parametern, die Lösung von Thomasons "homotopy limit problem" für die Grothendieck-Witt theory von Ringen von ganzen Zahlen in Zahlkörpern, und insbesondere die Berechnung der Grothendieck-Witt theorien von Z, und die Lösung einer Vermutung von Berrick-Karoubi zu dem 2-lokalen Verhalten von Grothendieck-Witt theorie von solchen Zahlringen. (2) Das Verhalten von algebraischer L-theorie als Invariante von reellen C*-Algebren, gemeinsam mit Nikolaus und Schlichting. Hier zeigen wir insbesondere, dass L-theorie invariant unter sogenannten KK-äquivalenzen ist und bekommen eine integrale Vergleichsabbildung von (konnektiver) topologischer K-theorie von C*-algebren zu Ltheorie, welche nach invertieren von 2 eine äquivalenz wird. Dies hatte ich gemeinsam mit Nikolaus im Fall von komplexen C*-Algebren bereits zuvor bewiesen, der reelle Fall konnte aber nicht analog behandelt werden. (3) Ein Artikel zu chromatisch lokalisierter K-theorie, gemeinsam mit Mathew, Meier und Tamme. Das Hauptresultat dieser Arbeit zeigt, dass chromatisch lokalisierte K-theorie eines Ring Spektrums R in einem präzisen Sinne nur von einer gewissen chromatischen Lokalisierung von R abhängt. Als Konsequenz bekommt man komplett neue, starke Verschwindungssätze und die ersten allgemein gültigen "Redshift" Resultate für die K-theorie von E1-Ring Spektren, also dass die K-theorie eines E1- Ringes von chromatischer Höhe n höchstens chromatische Höhe n + 1 hat. In vielen Beispielen ist mittlerweile (teilweise unter Benutzung unseres Satzes) auch bekannt, dass die K-theorie eines Höhe-n E1-Ringes genau Höhe (n + 1) hat, die sind Sätze von Hahn-Wilson und Yuan. (4) Neue Resultate zum Verhalten von K-theorie. Tamme und ich haben in einer früheren Arbeit jedem Pullback Quadrat von Ring Spektren einen neuen Ring zugeordnet, welcher es uns erlaubte, starke strukturelle Konsequenzen von K-theorie zu beweisen. Konkrete Beschreibungen dieses neuen Ringes waren erstmal nicht zur Verfügung. Eines der Projekte befasste sich dem Beispiel C*(S1;R) wobei R ein beliebiges Ring Spektrum ist. Tamme und ich haben in einer Recht allgemeinen Situation eine konkrete Formel für den neuen Ring gefunden; in dem genannten Beispiel gibt sie den Polynomring R[x], sodass man viele Rückschlüsse auf die K-theorie von C*(S1;R) ziehen kann.
Publications
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Hermitian K-theory for stable ∞-categories III: Grothendieck–Witt groups of rings
Calmès, B., Dotto, E., Harpaz, Y., Hebestreit, F., Land, M., Moi, K., Nardin, D., Nikolaus, T., and Steimle, W.
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Purity in chromatically localized algebraic K-theory
Land, M., Mathew, A., Meier, L., and Tamme, G.
