Nicht-asymptotische statistische Ähnlichkeitsmaße

• Antragsteller: Dr.-Ing. Michael Fauß
• Fachliche Zuordnung: Elektronische Halbleiter, Bauelemente und Schaltungen, Integrierte Systeme, Sensorik, Theoretische Elektrotechnik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 424522268

Die in diesem Projekt untersuchten Ähnlichkeitsmaße können anschaulich als Maße für eine Distanz verstanden werden. Im täglichen Leben ist die Distanz zwischen zwei Punkten meist eine physikalische Länge. Eine Wohnung ist beispielsweise 3km vom Stadtzentrum entfernt. Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, Distanzen zu messen. Die gleiche Wohnung kann auch als "15min" oder als "5 Bushaltestellen" vom Stadtzentrum entfernt beschrieben werden.Je nach Anwendung können die geeigneten Distanzmaße auch deutlich abstrakter sein. Nehmen wir an, um im Beispiel zu bleiben, es suche jemand nach einer Wohnung in der Stadt. Neben der Entfernung zum Stadtzentrum gibt es weitere wichtige Kriterien wie die Größe der Wohnung oder die Monatsmiete. Bei einer mathematischen Formulierung des Problems "Wohnungssuche" ist es sinnvoll, alle diese Aspekte in einen einzigen Ausdruck zusammenzuführen, der eine Distanz zu einer idealen Wohnung definiert. Aus den verfügbaren Wohnungen wählt man dann diejenige aus, die diese Distanz minimiert, d.h. dem Ideal am nächsten kommt.Die Lösung von Entscheidungsproblemen durch Minimierung eines geeigneten Distanzmaßes ist eine elegante und mächtige Methode. In der Praxis stellt sich jedoch das Problem, wie man das richtige Distanzmaß wählt. In unserem Beispiel denkt der/die Wohnungssuchende nicht in abstrakten Distanzen, sondern in Zielen und Bedingungen: Er/sie benötigt eine Wohnung von einer bestimmten Größe, zu einer maximalen Monatsmiete, so nah wie möglich an einem Supermarkt, einer Bushaltestelle, einer Schule, etc. Mathematisch entspricht das einem Optimierungsproblem mit Nebenbedingung. Diese Formulierung ist weniger elegant, erlaubt dafür aber eine klare Interpretation der Lösung. Das Ziel dieses Projekts ist es die Stärken beider Ansätze zu vereinen. Es wird ein systematischer Ansatz entwickelt, der es erlaubt Distanzmaße so zu konstruieren, dass die Minimierung einer Distanz äquivalent ist zur Lösung eines wohl-definierten Optimierungsproblems.Die Forschung konzentriert sich dabei auf Probleme der statistischen Inferenz, d.h. die Gewinnung von Informationen über den Zustand eines Systems aus verrauschten Beobachtungen. Die entsprechenden Distanzen sind auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert. Bekannte statistische Distanzen, wie die Kullback-Leibler-Divergenz oder die Alpha-Divergenz, basieren entweder auf unendlichen (asymptotischen) Stichprobenlängen oder Axiomen, so dass sie starke Annahmen erfordern und keine klare Interpretation zulassen. Ein erfolgreicher Abschluss dieses Projekts wird es ermöglichen, statistische Entfernungen basierend auf wohl-definierten, nicht asymptotischen Inferenzproblemen zu konstruieren. Dies wiederum würde zu neuen Erkenntnissen in der statistischen Signalverarbeitung und verwandten Bereichen führen und die Weiterentwicklung bestehender Ergebnisse auf einer transparenten theoretischen Grundlage ermöglichen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor H. Vincent Poor, Ph.D.