Geometrie hyperbolischer Polynome

• Antragsteller: Professor Dr. Daniel Plaumann; Professor Dr. Rainer Sinn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 426054364

Im Zentrum diesen Projekts stehen hyperbolische Polynome und ihre Hyperbolizitätskegel. Dies sind reelle Polynome in mehreren Veränderlichen, die einen konvexen Kegel begrenzen und durch eine Realitätsbedingung an die Nullstellen gekennzeichnet sind. Ihr Ursprung liegt in der Funktionentheorie und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber seit einiger Zeit spielen sie auch in der Optimierung, der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Rolle.Hyperbolische Polynome kann man als Verallgemeinerungen von charakteristischen Polynomen reeller symmetrischer Matrix-Scharen auffassen. Einerseits kann man versuchen, sie in dieser Weise auszudrücken (Determinantendarstellungen) und den Hyperbolizitätskegel mit den so entstehenden Kegeln von Matrizen vergleichen. Es ist eine offene Frage, ob dies in einem bestimmten Sinn immer möglich ist. Andererseits kann man auch versuchen, die Matrizentheorie im allgemeineren Rahmen der Hyperbolizität nachzubauen. Dieses Projekt wird sich auf diesen zweiten Standpunkt konzentrieren und Hyperbolizitätskegel aus der Perspektive der "Konvexen Algebraischen Geometrie" untersuchen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf dem Wechselspiel zwischen mehreren Dualitäten, nämlich (1) der Dualität algebraischer Varietäten im projektiven Raum, (2) der Dualität konvexer Kegel und (3) der Dualität der konvexen Optimierung. Die dritte Dualität ist gut untersucht für die semidefinite Optimierung und spielt dort eine große Rolle, während sie für die hyperbolische Optimierung nur wenig verstanden ist. Neben solchen fundamentalen Fragen sollen die dabei entwickelten Techniken auch auf konkrete Probleme angewendet werden, die sich aus den genannten Bezügen zu anderen Gebieten ergeben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen