Archimedische und nicht-archimedische Stratifizierungen höherer Ordnung

• Antragsteller: Professor Dr. Immanuel Halupczok
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 426488848

Eine Singularität ist ein Punkt, an dem ein geometrisches Objekt "nicht glatt" ist, z.B. die Spitze eines Kegels oder ein Knick in einem Blatt Papier. Das Ziel der Singularitätentheorie ist es zu beschreiben, welche Arten von Singularitäten auftreten können, wenn das geometrische Objekt durch bestimmte Arten von Gleichungen gegeben ist. Wenn die Gleichungen ein System aus der realen Welt modellieren (z.B. das Wetter, Populationsdichten, Roboterarmpositionierung), entspricht eine Singularität typischerweise einem Zustand mit plötzlichen Änderungen und/oder unvorhersehbarem Verhalten.Ist ein geometrisches Objekt gegeben, so möchte man häufig all seine Singularitäten klassifizieren und auch beschreiben, wie die verschiedenen Arten von Singularitäten auf dem Objekt verteilt sind. Ein mathematisches Werkzeug dafür sind "Stratifizierungen". Es gibt verschiedene Arten von Stratifizierungen, die verschieden präzise Klassifikationen der Singularitäten liefern. Allerdings sind die besten bekannten Stratifizierungen bisher noch nicht präzise genug für manche erhoffte Anwendungen. Ziel dieses Projektes ist, präzisere Stratifizierungen unter Verwendung einer neuen Methode zu entwickeln, die auf der Logik basiert und im folgenden beschrieben wird.Um eine Singularität an einem bestimmten Punkt eines geometrischen Objekts zu analysieren, betrachtet man das geometrische Objekt in einer winzigen Umgebung des Punktes: je kleiner die Umgebung, desto besser, da man in größeren Umgebungen mehr sieht, was nicht zu der Singularität gehört. Eine "unendlich kleine" Umgebung des Punktes zu betrachten würde normalerweise nicht funktionieren, da diese nur noch aus dem Punkt selbst bestehen würde. Mit Methoden der Logik kann jedoch unendlich kleine Zahlen einführen, so dass danach auch unendlich kleine Umgebungen eines Punktes nützlich werden und besonders gut geeignet sind, um die Singularität zu untersuchen.Die besten klassischen Stratifizierungen (die nicht auf unendlich kleinen Umgebungen basieren) haben extrem komplizierte und technische Definitionen. In den letzten Jahren habe ich mit Hilfe des Zugangs über die Logik mehrere neue Arten Stratifizierungen entwickelt. Dabei habe ich ähnliche Präzisionen erreicht, wie die besten klassischen Stratifizierungen, aber auf viel einfachere Weise. Ziel des Projektes ist es nun, diese neuen Stratifizierungen weiter zu verbessern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen