Archimedean and Non-Archimedean Higher Order Stratifications

• Applicant: Professor Dr. Immanuel Halupczok
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2019 to 2022
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 426488848

• Final Report Year: 2022

Final Report Abstract

Eine Singularität ist ein Punkt, an dem ein geometrisches Objekt „nicht glatt“ ist, z. B. die Spitze eines Kegels oder ein Knick in einem Blatt Papier. In der Mathematik werden geometrische Objekte typischerweise durch Gleichungen beschrieben, und in der Singulariätentheorie möchte man verstehen, welche Arten von Singularitäten man erhalten kann, wenn man sich auf bestimmte Arten von Gleichungen einschränkt. Eine Singularität zu beschreiben bedeutet, das geometrische Objekt in einer kleinen Umgebung des singulären Punkts zu beschreiben. Um wirklich nur über die Singulariät selbst zu sprechen, sollte man eigentlich eine „unendlich kleine“ Umgebung betrachten. Dies macht klassischerweise keinen Sinn, da unendlich kleine Zahlen nicht existieren. Man kann jedoch mit Methoden der Logik künstlich unendlich kleine Zahlen einführen und diese dann verwenden. Mit Hilfe dieser unendlich kleinen Zahlen konnten in der Vergangenheit schon diverse offene Vermutungen gelöst werden. Die Idee hinter diesem Projekt ist, die unendlich kleinen Zahlen systematisch auszunutzen, um Singularitäten zu studieren. Eine etwas konkretere Frage zu Singularitäten ist die Folgende: Wenn ein geometrisches Objekt viele singuläre Punkte hat, kann man dann unter diesen Punkten welche ausmachen, die „noch singulärer“ als die anderen sind? (Man stelle sich ein Blatt Papier vor, das zweimal in verschiedene Richtungen geknickt wurde. Alle Punkte entlang der Knicke sind singulär, aber der Punkt, an dem sich beide Knicke treffen, ist noch singulärer.) Die erste Schwierigkeit bei dieser Frage besteht darin, präzise zu definieren, was „noch singulärer“ bedeuten soll. Dafür sind verschiedene Möglichkeiten bekannt, die sich darin unterscheiden, wie gut sie zwischen Singularitäten differenzieren können. Eine der in diesem Aspekt besonders gute Definition wurde von Mostowski eingeführt; sie hat jedoch den Nachteil, extrem kompliziert zu sein. Die oben erwähnten unendlich kleinen Zahlen liefern ganz neue Möglichkeiten, um zwischen Singularitäten zu unterscheiden. Es ist uns auf diese Art gelungen, Mostowskis Definition durch eine sehr viel einfachere zu ersetzen, die außerdem noch besser zwischen Singularitäten differenzieren kann als die Definition von Mostowski.

Publications

• Arc-wise analytic t-stratifications
  P. Cubides Kovacsics & I. Halupczok
  
• Hensel minimality I. Forum of Mathematics, Pi, 10.
  Cluckers, Raf; Halupczok, Immanuel & Rideau-Kikuchi, Silvain
  
• Hensel minimality II: Mixed characteristic and a diophantine application. Forum of Mathematics, Sigma, 11.
  Cluckers, Raf; Halupczok, Immanuel; Rideau-Kikuchi, Silvain & Vermeulen, Floris
  
• Spherically complete models of Hensel minimal valued fields. Mathematical Logic Quarterly, 69(2), 138-146.
  Bradley‐Williams, David B. & Halupczok, Immanuel
  
• Motivic Vitushkin invariants. Compositio Mathematica, 161(5), 959-992.
  Comte, G. & Halupczok, I.
  
• Riso-stratifications and a tree invariant. Selecta Mathematica, 31(3).
  Bradley-Williams, David & Halupczok, Immanuel