Variationelle Modellierung molekularer Geometrien

• Antragsteller: Professor Dr. Manuel Friedrich
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 427980274

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Forschung an niedrigdimensionalen Materialien (wie z.B. Graphen) mit ihren faszinierenden elektrischen und mechanischen Eigenschaften ist ein rasant wachsendes Feld. Neue Resultate theoretischer und angewandter Natur erscheinen mit immer noch größerer Geschwindigkeit. Im Gegensatz zur Fülle existierender experimenteller Befunde und numerischer Simulationen sind rigorose mathematische Resultate über lokale und globale kristalline Geometrien kaum vorhanden. Das Forschungsfeld, das sich mit dem Auftreten unterschiedlicher Skalen in molekularen Strukturen beschäftigt, steckt noch in den Kinderschuhen. Der Schwerpunkt dieses Projekts war die variationelle Modellierung molekularer Geometrien im Rahmen der Molekularen Mechanik. Ziel war es, ein tieferes mathematisches Verständnis von molekularen Geometrien zu erzielen und das Auftreten von Skaleneffekten über verschiedene Skalen hinweg zu untersuchen. Ausgehend von der Nano- bis hin zur Makroskala haben wir dabei unterschiedliche Probleme betrachtet, etwa Kristallisation für molekulare Verbindungen, die Beschreibung lokaler molekularer Eigenschaften (insbesondere Defekte), das Auftreten globaler, geometrischer Charakteristiken wie etwa Flachheit in 3d, sowie schließlich den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen. Unser Zugang basierte vor allem auf der Verwendung von Variationsmethoden für atomistische Modelle. Die Methodik umfasste aber auch Techniken aus der Graphentheorie, Kombinatorik und der diskreten Differentialgeometrie. Der innovative Charakter des Projekts bestand darin, eine Reihe von aktuellen Forschungsfragen in den Materialwissenschaften von einem rigorosen, mathematischen Standpunkt aus zu betrachten. Verglichen mit Simulationen ist der theoretische Zugang unabhängig von der Systemgröße, was einen wesentlichen Vorteil für die Untersuchung von Effekten mit sich bringt, die über mehrere Skalen hinweg auftreten.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Crystallization in a One-Dimensional Periodic Landscape. Journal of Statistical Physics, 179(2), 485-501.
  Friedrich, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• Emergence of Rigid Polycrystals from Atomistic Systems with Heitmann–Radin Sticky Disk Energy. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 240(2), 627-698.
  Friedrich, Manuel; Kreutz, Leonard & Schmidt, Bernd
  
• Lattice ground states for embedded-atom models in 2D and 3D. Letters in Mathematical Physics, 111(4).
  Bétermin, Laurent; Friedrich, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• Stability of Z2 configurations in 3D. Nonlinearity 34, 12:8392–8413.
  Bétermin, Laurent; Friedrich, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• From atomistic systems to linearized continuum models for elastic materials with voids. Nonlinearity, 36(1), 679-733.
  Friedrich, Manuel; Kreutz, Leonard & Zemas, Konstantinos
  
• Tilings with Nonflat Squares: A Characterization. Milan Journal of Mathematics, 90(1), 131-175.
  Friedrich, Manuel; Seitz, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• A Proof of Finite Crystallization via Stratification. Journal of Statistical Physics, 190(12).
  Friedrich, Manuel & Kreutz, Leonard
  
• The double-bubble problem on the square lattice. Interfaces and Free Boundaries, Mathematical Analysis, Computation and Applications, 26(1), 79-134.
  Friedrich, Manuel; Górny, Wojciech & Stefanelli, Ulisse
  
• Nonlocal-to-local limit in linearized viscoelasticity. Communications in Applied and Industrial Mathematics, 15(1), 1-26.
  Friedrich, Manuel; Seitz, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• A characterization of ℓ1 double bubbles with general interface interaction. Advances in Calculus of Variations, 18(3), 609-637.
  Friedrich, Manuel; Górny, Wojciech & Stefanelli, Ulisse
  
• Discrete-to-continuum linearization in atomistic dynamics. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 45(3), 847-874.
  Friedrich, Manuel; Seitz, Manuel & Stefanelli, Ulisse
  
• The ℓ1 Double-Bubble Problem in Three Dimensions. The Journal of Geometric Analysis, 35(10).
  Friedrich, Manuel; Górny, Wojciech & Stefanelli, Ulisse