Teilstrukturen in großen Objekten - Extremalität, typische Eigenschaften und Komplexität

• Antragsteller: Professor Dr. Felix Joos
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 428212407

Eine grundlegende Thematik in vielen Gebieten der Mathematik ist in der folgenden Frage enthalten: Gegeben ein „großes“ Objekt, enthält es gewisse „kleine“ oder „elementare“ Teilstrukturen? Falls ja, wie viele gegebene „elementare“ Teilstrukturen enthält es und in welche „elementare“ Teilstrukturen kann das „große“ Objekt zerlegt werden? Bekannte Beispiele dieser Fragestellung sind unter anderem die Primfaktorenzerlegung von natürlichen Zahlen, Kugelpackungen im d-dimensionalen Raum, Matrixzerlegungen in Matrizen bestimmter Arten, Lebesgues Zerlegungssatz von Maßen und die Levy-Ito-Zerlegung von Levy-Prozessen.Das Ziel dieses Projekts ist es, solche Fragestellungen in der Kombinatorik und Geometrie zu untersuchen. Insbesondere werden Probleme zu den folgenden Themenschwerpunkten untersucht:1. Teilgraphen in Graphen: Dies gehört wohl zu den grundlegendsten Fragestellungen der Graphentheorie. Für einen gegeben Graph H untersuchen wir hinreichende Bedingungen dafür, wann ein Graph G den Graphen H enthält. 2. Zerlegungen: Dies ist eine natürliche Erweiterung des ersten Themenschwerpunktes. Für eine gegebene Liste von Graphen H1,…,Hr untersuchen wir, ob ein Graph G in kantendisjunkte Kopien von H1,…,Hr, die möglicherweise bestimmte Restriktionen erfüllen, zerlegt werden kann.3. Matchings in Hypergraphen: Matchings sind eine der besten untersuchten Strukturen in (Hyper-)Graphen. In Graphen sind Matchings strukturell und algorithmisch sehr gut verstanden wohingegen Matchings in Hypergraphen ein viel komplexeres Verhalten aufweisen. Dies ist nicht sehr verwunderlich wenn man sich vor Augen führt, dass einige berühmte offene Probleme in der Kombinatorik (insbesondere auch Zerlegungsprobleme) äquivalent zu der Frage sind, ob ganz bestimmte Hypergraphen perfekte Matchings besitzen.4. Kugelpackungen: Die Frage nach der dichtesten Kugelpackung im d-dimensionalen Raum ist vielleicht eine der ältesten und bekanntesten Probleme der Mathematik. Im Jahre 1900 veröffentlichte Hilbert eine Liste von 23 Problemen mit denen sich Mathematiker im nächsten Jahrhundert beschäftigen sollten. Darunter ist auch als 18. Problem die Suche nach der dichtesten Kugelpackung im dreidimensionalen Raum. Die Dichte der dichtesten Kugelpackung wurde in den Dimensionen 1,2,3,8 und 24 ermittelt und für im Wesentlichen jeden anderen Fall wissen wir fast nichts.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen