Lagrangesche Theorie der integrablen Hierarchien: Zusammenhänge und Anwendungen

• Antragsteller: Dr. Mats Vermeeren
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 428317136

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Jahrzehnt vor dem Projektanfang war im Zusammenhang mit multi-dimensional konsistenten Differenzengleichungen ein Variationsprinzip für integrable Systeme entstanden. Diese variationelle (d.h. lagrangesche) Perspektive hat bei der Beschreibung diskreter integrabler Systeme gute Dienste geleistet. Im kontinuierlichen Fall kann für Hierarchien partieller Differenzialgleichungen ein entsprechendes Variationsprinzip formuliert werden. Das übergreifende Ziel des Projekts war festzustellen, wie sich diese Perspektive in die bestehende Theorie der integrablen Hierarchien einfügt. Der erste Teil des Projekts hatte zum Ziel, Zusammenhänge zwischen dem neu entwickelten Variationsprinzip und den bekannten Begriffen im Bereich der kontinuierlichen integrablen Systeme herzustellen. Insbesondere ging es um Zusammenhänge mit (bi-)hamiltonschen Strukturen (ein unmittelbares Gegenstück zu lagrangeschen Strukturen) und Lax-Paaren (für welche in einigen Spezialfällen bereits enge Beziehungen zu Variationsprinzipien gefunden wurden). Der zweite Teil des Projekts handelte von Anwendungsmöglichkeiten der lagrangeschen Perspektive bei der Beantwortung offener Fragen bezüglich integrabler Systeme, insbesondere im Zusammenhang mit quantentheoretischen integrablen Systemen und mit der Klassifizierung hochdimensionaler integrabler Systeme. Das Projekt hat sich an die Folgen der Pandemie auf Arbeitsbedingungen und Kooperationsmöglichkeiten anpassen müssen. Insbesondere war eine nahe Zusammenarbeit mit den Gastgebern während des Lockdowns nicht möglich. Andererseits hat der weltweite Wechsel auf Onlinearbeit externe Kooperationen gefördert. Das hat dazu geführt, dass einige Projektteile weitgehend gestrichen worden sind (Lax-Paare, Klassifizierung), während erfolgreiche internationale Zusammenarbeiten entstanden sind, die den Rahmen des Projekts ausgedehnt haben, hauptsächlich in Richtung Diskretisierung. Beziehungen zu hamiltonschen Strukturen sind mit Erfolg etabliert worden, obwohl einige offene Fragen zum Thema geblieben sind. In Richtung Quantisierung sind erste Schritte geschaffen, die unerwartete Lücken im Verständnis der klassischen Theorie, in den Bereichen der nicht-abelsche Symmetriegruppen und halbdiskreten Systemen, enthüllt haben. Wir haben diese Lücken erfolgreich geschlossen. Unsere Ergebnisse dazu zeigen ebenfalls interessante Möglichkeiten, um unseres Variationsprinzip über integrablen Systeme hinaus anzuwenden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Hamiltonian structures for integrable hierarchies of Lagrangian PDEs. Open Communications in Nonlinear Mathematical Physics 1: ocnmp:7491 (2021)
  Mats Vermeeren
  
• Lagrangian multiforms on Lie groups and non-commuting flows
  Vincent Caudrelier, Frank Nijhoff, Duncan Sleigh, Mats Vermeeren
  
• Semi-discrete Lagrangian 2-forms and the Toda hierarchy
  Duncan Sleigh, Mats Vermeeren