Ringeldualität neu betrachtet

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Koenig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 430932201

Dieser Fortsetzungsantrag zum Projekt "Ringeldualität neu betrachtet" baut auf den Ergebnissen auf, die in diesem seit April 2020 für insgesamt zwei Jahre geförderten Projekt erreicht wurden. Grundlage des Projekts ist weiterhin die Beschreibung quasi-erblicher Algebren und Moduln mit Standardfiltrierung durch Bocsen und diese bestimmende A-unendlich Kategorien. In meiner neuen gemeinsamen Arbeit mit Brzezinski und Külshammer wurde diese Beschreibung ergänzt durch eine Übersetzung in die Sprache der Koringe. Die Beschreibung durch Bocsen selbst ist wesentlich verbessert worden durch Condes Lösung von Ovsienkos Problem, in stärkerer Form als im Originalantrag formuliert. Sie hat insbesondere genau beschrieben, welche quasi-erblichen Algebren eine durch eine Bocs gegebene exakte Borelteilalgebra besitzen. Sie konnte Bocsen und exakte Borelteilalgebren strukturell und numerisch sehr genau beschreiben und baute parallel ein sehr präzises funktorielles Gerüst für Ringeldualität auf, die hier mit Burt-Butler Dualität identifiziert wird. Im beantragten dritten Projektjahr sollen im Rahmen des Gesamtziels (Ziel A) - der Untersuchung der Ringstruktur und der homologischen Struktur Ringel-selbstdualer Algebren und vor allem der Existenz von Dualitäten, die einfache Moduln erhalten - drei noch offene Hauptziele des Gesamtprojekts weiterbearbeitet werden.Teil 1 (Ziel B): Erweiterung und detaillierte Ausarbeitung von Condes kategoriellem Gerüst für Ringel-Selbstdualität durch Einbau einer dritten Dualität, die als Ko-Kontramodul-Dualität bekannt ist. Damit sollen allgemeiner auch stratifizierte Algebren und unendliche Höchstgewichtskategorien erfasst werden. Teil 2 (Ziel B, Fortsetzung): Im Originalantrag hatten wir vermutet, dass aus Ringel-Selbstdualität einer Algebra die Existenz einer Dualität auf der Modulkategorie folgt, welche einfache Moduln erhält. Damit wären mehrere Probleme im Originalantrag gelöst. Durch Kombination des kategoriellen Gerüsts aus Teil 1 mit Frobeniusfunktoren und Ergebnissen über Äquivalenzen zwischen Komoduln und Kontramoduln über Koringen (Bocse) sollen diese Vermutung und die sie motivierenden Probleme bearbeitet werden. Teil 3 (Ziele C und D): Die im Originalantrag geplante Arbeit an A-unendlich Strukturen hat bereits begonnen und wird durch die Einbindung in das allgemeine kategorielle Gerüst erweitert. Das Verhalten von A-unendlich Strukturen auf Yoneda-Algebren unter dem Übergang zu "guten" Quotienten- oder Teilalgebren von quasi-erblichen Algebren (oder allgemeineren Kategorien) soll ebenso geklärt werden wie die Verträglichkeit von exakten Borelteilalgebren mit solchen Operationen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich(e): Professorin Dr. Anne Henke