Strahlungsbedingungen für Wellen in periodischen und stochastischen Medien

• Antragsteller: Professor Dr. Ben Schweizer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 431081410

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Projekt wurden Strahlungsbedingungen für die Helmholtz- und die Wellengleichung untersucht, der Fokus lag auf periodischen und stochastischen Medien. Wenn mit einem numerischen Verfahren Lösungen für diese Gleichungen (approximativ) berechnet werden sollen, so muss das unendlich ausgedehnte Gebiet ersetzt werden durch ein beschränktes Gebiet. Die Frage ist dann, was für Randbedingungen an den künstlich eingeführten Rändern des Gebietes gestellt werden sollten. Dabei ist ein Punkt anders als für homogene Materialien: Es soll nicht ein nicht-reflektierender Rand erzeugt werden, denn das heterogene Medium im Außengebiet führt durchaus zu Reflexionen. In diesem Projekt wurden Fragen in diesem Umfeld untersucht und teilweise beantwortet. In einer ersten Arbeit ging es darum, wie in einem Homogenisierungslimes (also in dem Fall, dass die periodische Struktur eine kleine Skala hat im Vergleich zur Wellenlänge) die Randbedingung gewählt werden sollte. In einer zweiten Arbeit wurde ein numerisches Verfahren entwickelt, das im Fall geschlossener Wellenleiter auf endlichen Gebieten eine (im Sinne des numerischen Verfahrens) exakte Lösung liefert und durch einen algorithmischen Trick von hoher Effizienz ist. Eine weitere Arbeit untersucht stochastische Medien. Hier wurde ein negatives Resultat bewiesen, nämlich, dass die stochastische Homogenisierung auf großen Zeitskalen notwendigerweise scheitert. Die genauere Untersuchung liefert einen Zusammenhang zwischen den stationären Korrektoren des Problems und der Zeitskala, auf der die stochastische Homogenisierung korrekte Ergebnisse liefert: Am Wachstum der Korrektoren kann man ablesen, auf welchen Zeitskalen die Vorhersagen der stochastischen Homogenisierung korrekt sind. Schließlich wurde in einer Arbeit zu Strahlungsbedingungen der Helmholtzgleichung ein Existenzund Eindeutigkeitsresultat mit einfachen Methoden nachgewiesen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Domain truncation methods for the wave equation in a homogenization limit. Applicable Analysis, 101(12), 4149-4170.
  Schäffner, Mathias; Schweizer, Ben & Tjandrawidjaja, Yohanes
  
• A radiation box domain truncation scheme for the wave equation. IMA Journal of Numerical Analysis, 44(2), 920-944.
  Schweizer, B.; Schäffner, M. & Tjandrawidjaja, Y.