Geometrische und kombinatorische Konfigurationen in der Modelltheorie

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Martin Hils; Professor Dr. Amador Martin-Pizarro, seit 10/2023; Professorin Dr. Katrin Tent
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 431667816

GeoMod ist ein kooperatives Forschungsprojekt von Wissenschaftlern aus Deutschland und Frankreich. Die aktuelle modelltheoretische Forschung untersucht abstrakte Eigenschaften mathematischer Strukturen aus der Perspektive der Logik erster Stufe. Dabei werden kombinatorische Eigenschaften definierbarer Mengen wie das Vorhandensein bestimmter Konfigurationen untersucht. Diese werden dann benutzt, um strukturelle Aussagen zu erhalten. Diese können algebraischer oder geometrischer Natur sein und auf spezifische Kontexte angewandt werden wie etwa Berkovichräume, differentielle algebraische Geometrie, additive Kombinatorik oder Erdősgeometrie.Ein zentrales Beispiel, in dem sich algebraische Struktur aus einer Konfiguration ergibt, ist der Satz über die Gruppenkonfiguration. Dieser besagt, dass gewisse kombinatorische Muster notwendig von einer Gruppe herrühren und dass zudem die Klasse der Gruppen, aus denen man die Konfiguration gewinnen kann, stark eingeschränkt ist. Dieses Resultat, das Koordinatisierungssätze aus der geometrischen Algebra verallgemeinert, wurde von Hrushovski 1986 für stabile Theorien bewiesen. Seitdem hat es sich als eines der mächtigsten Werkzeuge in geometrischer Stabilitätstheorie erwiesen und wurde erfolgreich auf offene Probleme in der Klassifikationstheorie sowie im Beweis der Trichotomie für Zariskigeometrien angewandt. Insbesondere war es die entscheidende Zutat im Beweis der Mordell-Lang Vermutung für Funktionenkörper. Seit Kurzem spielt es auch eine zentrale Rolle in Anwendungen in der Kombinatorik, etwa in der Arbeit von Bays-Breuillard zu Verallgemeinerungen des Satzes von Elekes-Szabó.Das modelltheoretische Studium bewerteter Körper ist ein weiteres Beispiel des Zusammenspiels von Stabilitätstheorie und algebraischer Modelltheorie. Abraham Robinson zeigte 1959, dass algebraisch abgeschlossene nicht-trivial bewertete Körper den Modellbegleiter der Theorie der bewerteten Körpern bilden. Knapp 50 Jahre lang blieb das modelltheretische Studium bewerteter Körper “angewandt” und nahezu disjunkt zu den Entwicklungen der Stabilitätstheorie in “reiner” Modelltheorie. Erst durch die Untersuchung definierbarer Quotienten in bewerteten Körpern durch Haskell-Hrushovski-Macpherson, bei dem stabil dominierte Typen eine große Rolle spielen, flossen hier die reine und die angewandte Strömung zusammen. Die tiefen Zusammenhänge der beiden Zugänge zeigen sich auch in Hrushovski-Loesers Arbeiten in nichtarchimedischer Geometrie.Unser Projekt rankt sich um obige drei Themen: Erstens wollen wir die noch recht junge Interaktion zwischen Modelltheorie und Kombinatorik festigen. Zweitens möchten wir die Modelltheorie bewerteter Körper, in Frankreich und Deutschland traditionell stark vertreten, mit Methoden aus der geometrischen Stabilitätstheorie weiter entwickeln. Schließlich planen wir eine abstrakte Untersuchung kombinatorischer Konfigurationen, welche für die anderen beiden Gebiete ein grundlegenes Werkzeug darstellen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Mitverantwortlich(e): Professorin Dr. Franziska Jahnke
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Dr. Franck Benoist; Dr. Thomas Blossier; Dr. Elisabeth Bouscaren; Professorin Zoé Chatzidakis, Ph.D.; Dr. Silvain Rideau; Dr. Patricio Simonetta; Professor Dr. Frank Olaf Wagner
• Ehemalige Antragsteller: Dr. Martin Bays, bis 9/2023; Dr. Daniel Palacin, bis 2/2022