Gemischt-ganzzahlige nichtlineare multikriterielle Optimierung

• Antragstellerin: Professorin Dr. Gabriele Eichfelder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 432218631

Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung mathematischer Methoden zur numerischen Lösung von gemischt-ganzzahligen nichtlinearen multikriteriellen Optimierungsproblemen (MOMIPs). Wir betrachten also Optimierungsprobleme mit mehreren konkurrierenden Zielfunktionen, bei denen einige der Variablen ganzzahlig und andere kontinuierlich sind. Solche Optimierungsprobleme treten in einer Vielzahl von Anwendungen, wie zum Beispiel in der Produktionsplanung oder in ingenieurwissenschaftlichen Designproblemen, auf. MOMIPs kombinieren dabei die Schwierigkeiten aus zwei Bereichen der mathematischen Optimierung: der multikriteriellen und der gemischt-ganzzahligen Optimierung, die zu den NP-vollständigen Problemen zählt. Diese Optimierungsprobleme gehören wegen den ganzzahligen Variablen zur Klasse der nichtkonvexen Optimierungsprobleme, weswegen Techniken der globalen Optimierung zum Einsatz kommen und die Entwicklung effizienter Verfahren eine große Herausforderung darstellt. Die Ansätze der gemischt-ganzzahligen Optimierung mit nur einer Zielfunktion können dabei nicht einfach übertragen werden: dort konstruiert man üblicherweise monoton fallende Folgen oberer Schranken und monoton wachsende Folgen unterer Schranken, bis die Differenz eine vorgegebene Toleranz unterschreitet. Im Falle mehrerer Zielfunktionen gibt es im Allgemeinen unendlich viele optimale Werte eines multikriteriellen Optimierungsproblems und diese Werte sind Vektoren in höherdimensionalen Vektorräumen. Deswegen ist zunächst nicht klar, was kleinste obere und größte untere Schranken für diese Werte sein sollen. Ein häufiger Zugang in der multikriteriellen Optimierung ist die Formulierung zugehöriger parameterabhängiger Ersatzprobleme und deren iterative Lösung. In diesem Fall müssten iterativ gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierungsprobleme mit einer Zielfunktion gelöst werden, ohne dass dabei Informationen von zuvor gelösten Problemen verwendet werden, was nicht effizient wäre. Zudem ist nicht klar, wie die Parameter der Skalarisierungen zu wählen wären.Daher ist es das Ziel dieses Projekts ein direktes Verfahren ohne Sklarisierung zu entwickeln. Hierzu werden wir annehmen, dass alle auftretenden Funktionen zumindest konvex sind. Dies erlaubt die Untersuchung polyedrischer Relaxierungen der multikriteriellen Optimierungsprobleme, welche dann untere Schranken liefern. Diese Schranken sind nun Mengen von Vektoren. Durch die Kombination mit geeigneten oberen Schranken soll ein neues Abbruchkriterium entwickelt werden, welches die bisher verwendete Toleranz ersetzt, so dass ein Verfahren mit theoretischen Qualitätskriterien konstruiert werden kann.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen