Wirbelverfahren für Inkompressible Strömungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Rahmen dieses Forschungsprojekt wurden große Fortschritte erzielt. Die praktische Anwendung von Wirbelverfahren erfordert jedoch weitere Forschungsarbeit. Zu Beginn des Projekts stand ein großer Fortschritt beim Problem der sogenannten Partikelregularisierung: zusammen mit Christian Rieger es gelang ein schnelles und stabiles Verfahren zu entwickeln, um aus Punktwerten auf einer gegebenen Partikelwolke eine global definierte Funktion zu erhalten. Das Verfahren ist bislang auf quasi-uniforme Partikelwolken beschränkt, funktioniert jedoch auch in berandeten Gebieten. In diesen Fällen löst es damit eines der Hauptprobleme klassischer Partikelmethoden. Es stellte sich eine Reihe interessanter Zusammenhänge mit sogenannten kernbasierten Verfahren heraus; dies führte zur Zusammenarbeit mit Paul Wilhelm und deren Anwendung auf die Vlasov–Poisson Gleichung. Seit dem Verlassen der akademischen Welt arbeite ich in meiner Freizeit an der Weiterentwicklung dieser Ergebnisse für nicht-uniforme Partikelwolken. Der Rest des Projekts befasste sich mit dem Problem aus einem gegebenen Wirbelfeld das zugehörige Geschwindigkeitsfeld sowie ein Vektorpotential zu berechnen. Das Biot-Savart Gesetz löst dieses Problem für den Fall des Ganzraums, in berandeten Gebieten ist die Lösung jedoch ungemein schwerer. Zusammen mit Erick Schulz wurden scharfe Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen sowie ein numerisches Verfahren, das dies Ergebnisse in der Praxis umsetzt. Die dabei auftretenden komplizierten Integrale können analytisch gelöst werden. Die praktische Implementierung dieser analytischen Lösungen erfolgte zusammen mit Donat Weniger.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Analytic integration of the Newton potential over cuboids and an application to fast multipole methods. Journal of Numerical Mathematics, 30(2), 109-120.
Kirchhart, Matthias & Weniger, Donat
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Discrete Projections: A Step Towards Particle Methods on Bounded Domains without Remeshing. SIAM Journal on Scientific Computing, 43(1), A609-A635.
Kirchhart, Matthias & Rieger, Christian
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Div–curl problems and H1‐regular stream functions in 3D Lipschitz domains. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 45(3), 1097-1117.
Kirchhart, Matthias & Schulz, Erick
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An interpolating particle method for the Vlasov–Poisson equation. Journal of Computational Physics, 473, 111720.
Wilhelm, R. Paul & Kirchhart, Matthias
