Transportgleichungen, Mischen und Fluiddynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Seis
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 432402380

Advektions-Diffusions-Gleichungen sind in vielen Bereichen der Physik, Biologie und Ingenieurswissenschaften von grundlegender Bedeutung. Sie beschreiben Systeme, in denen eine skalare Größe gleichzeitig diffundiert und durch ein gegebenes Geschwindigkeitsfeld transportiert wird. Dieses Geschwindigkeitsfeld ist in vielen Anwendungen, z.B. aus dem Bereich der Fluiddyamik, sehr irregulär. Dank der regularisierenden Eigenschaften des Diffusionsoperators ist das mathematische Modell dennoch häufig wohlgestellt.In diesem Vorhaben sollen verschiedene quantitative Aspekte untersucht werden. Zum einen soll das Mischungsverhalten in Fluiden am konkreten Beispiel von Scherströmungen analysiert werden. Hier führt das Zusammenspiel von (irregulärem) Transport und regularisierender Diffusion nach einiger Zeit zu einer Auswahl dominanter Längenskalen, welche für die weitere Evolution nahezu konstant bleiben und die Mischungs- oder Dissipationsraten dominieren. Ein rigoroses Verständis der relevanten Längenskalen und der Mischungsraten wird angestrebt.Es wird erwartet, dass in der mathematischen Analyse des Mischungsprozesses gewisse Stabilitätsabschätzungen, die Lösungen von Advektions-Diffusions-Gleichungen und Lösungen von reinen Advektions-Gleichungen miteinader vergleichen, eine wichtige Rolle spielen. Allgemeinere Stabilitätsabschätzungen für Advektions-Diffusions-Gleichungen sollen tiefere Erkenntnisse liefern, wie Lösungen der Gleichungen von Variationen der Anfangsdaten oder Koeffizienten abhängen. In der Herleitung dieser Abschätzungen wird ein besonderes Augenmerk auf eine gewisse "Flexibilität" der Beweismethode gelegt. So sollen die Resultate auch auf Diskretisierungen von Advektions-Diffusions-Gleichungen anwendbar sein, was schließlich zu Fehlerabschätzungen für approximierende Lösungen geeigneter numerischer Finite-Volumen-Verfahren führen soll.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen