Modellierung klassischer Typen: Algebraische Gruppenaktionen mittels Algebren mit Symmetrien

• Antragstellerin: Dr. Magdalena Boos
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 432521517

Es sei G eine einfache klassische komplexe Liegruppe mit Liealgebra g. Wir fixieren eine standardparabolische Untergruppe P in G und lassen diese per Konjugation auf dem nilpotenten Kegel N der nilpotenten Elemente in g operieren. Diese Operation schränkt sich auf gewisse Varietäten in N ein, so zum Beispiel auf die Varietät N(x) der Elemente n vom Nilpotenzgrad x (das heißt es gilt n^x=0) oder auf die Varietät N_P der nilpotenten Matrizen in der Liealgebra von P. Wir möchten diese Gruppenoperationen verstehen.In Typ A, wenn ohne Einschränkung G=GL_n gilt (für G=SL_n ergibt sich derselbe Aufbau), können wir die Gruppenaktionen in die Darstellungstheorie übersetzen: Wir finden je eine Bijektion zwischen den Bahnen und gewissen Isomorphieklassen von Darstellungen eines Köchers mit Relationen. Da diese Bijektionen durch assoziierte Faserbündel gegeben sind, werden unter anderem auch Abschlussrelationen und Kodimensionen erhalten.Für symplektisches und orthogonales G haben wir eine ähnliche Übertragungen gefunden: in diesen Fällen gibt es je eine Bijektion zu gewissen symmetrischen Isomorphieklassen symmetrischer Darstellungen eines symmetrischen Köchers mit Relationen, das heißt es gilt, symmetrische Darstellungen einer Algebra mit Selbst-Dualität zu verstehen.Bezüglich der eingangs genannten Aktionen möchten wir, abhängig vom Typ der Gruppe G, drei Hauptziele erreichen:I Ein Endlichkeitskriterium beweisen, das alle Fälle auflistet, in denen die beschriebenen Aktion nur endlich viele Bahnen besitzen. II Die endlichen Fälle im Detail verstehen, zum Beispiel mittels einer Parametrisierung der Bahnen durch kombinatorische Objekte, durch die Beschreibung der Entartungen der Bahnen, durch die Angabe der Singularitäten in den Bahnenabschlüssen sowie ihrer Auflösungen und durch die Berechnung der Schnittkohomologie. III In den unendlichen Fällen streben wir an, generische Normalformen zu beschreiben mittels derer wir Semi-Invarianten definieren und verstehen können, die die parabolischen Semi-Invariantenringe erzeugen. Konkrete Quotientenmorphismen und die equivariante Kohomologie sollen berechnet werden.Für Typ A sind bereits viele darstellungstheoretische Resultate bekannt, die wir für die Bearbeitung der genannten Ziele verwenden können. Um die Aktionen für klassische Typen zu verstehen, müssen wir die symmetrische Darstellungstheorie erweitern und der grundlegende Fokus dieses Projekts liegt daher in diesem Bereich. Der Fall der allgemeinen linearen Gruppe liefert uns viele Vorschläge, auf welche Weise eine Erweiterung sinnvoll und möglich sein sollte; dennoch wissen wir aus unseren Vorarbeiten, dass neue Phänomene zu erwarten sind. Beispielsweise ist die Entartungsordnung im geraden orthogonalen Fall nicht induziert durch Typ A.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Italien
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Gwyn Bellamy, Ph.D.; Professor Dr. Giovanni Cerulli Irelli; Dr. Francesco Esposito; Dr. Martina Lanini