Modellierung klassischer Typen: Algebraische Gruppenaktionen mittels Algebren mit Symmetrien
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Unser Projekt ist in der algebraischen Grundlagenforschung anzusiedeln, genauer an einer Schnittstelle der Darstellungstheorie assoziativer Algebren (via Köcher mit Relationen) mit der Lie-Theorie und der Algebraischen Geometrie. Der Umstand, dass die Theorie der Köcherdarstellungen in Typ A definiert ist (d.h. für allgemeine lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren) konnte lange Zeit als Nachteil betrachtet werden. Um diese Einschränkung zu überwinden, führten Derksen und Weyman im Jahr 2002 den Begriff eines symmetrischen Köchers ein. Dieser Ansatz erlaubt es, klassische Analogien zu betrachten, insbesondere sogenannte symplektische oder orthogonale Darstellungen, die auch als symmetrische Köcherdarstellungen bezeichnet werden. Sie werden in sogenannten symmetrischen Darstellungsvarietäten gesammelt auf denen reduktive Gruppen per Basiswechsel operieren. Unser Hauptfokus in diesem Projekt liegt auf den Bahnen der oben genannten Gruppenoperationen, auf ihren Abschlüssen sowie auf Anwendungen der Theorie. Die Bahnen entsprechen den Isomorphieklassen (symmetrischer) Darstellungen. Es ist bekannt, dass die symmetrischen Bahnen durch Einschränkung induziert werden und wir beweisen diese Tatsache mit neuen Methoden. Für die Bahnenabschlüsse ist offen, unter welchen Annahmen sie induziert werden. Wir definieren die assoziative darstellungsendliche Wippenalgebra (see-saw algebra) und finden ein explizites Beispiel für zwei symmetrische Darstellungen, deren partielle Abschlussordnung im orthogonalen Fall nicht induziert ist. Wir definieren daraufhin die symmetrische Ext-Ordnung: ein hinreichendes Kriterium für eine symmetrische Abschlussrelation. Ein notwendiges Kriterium für symmetrische Abschlussrelationen ist die Hom-Ordnung, die bereits aus dem nicht-symmetrischen Kontext bekannt ist. Eines unserer Hauptresultate besagt, dass für einen symmetrischen, darstellungsendlichen Köcher (ohne Relationen) alle diese partiellen Ordnungen äquivalent sind. Eine symmetrische Darstellung ist genau dann im Abschluss einer anderen bezüglich der symmetrischen Darstellungsvarietät enthalten, wenn sie es auch in der gesamten Darstellungsvarietät ist. Daraus folgern wir, dass die symmetrische Abschlussordnung äquivalent zur symmetrischen Ext-Ordnung und äquivalent zur Hom-Ordnung ist. Im Falle eines äquiorientierten Dynkintyp A-Köchers beweisen wir das Theorem konkret mit kombinatorischen Methoden wie Schnitten und Verschiebungen. Im Anschluss fokussieren wir uns auf Anwendungen und konzeptualisieren die linearen entarteten symplektischen Flaggenvarietäten als symmetrische Entartungen im Rahmen von äquiorientierten Köchern des Typs A. Daraufhin zeigen wir zum Beispiel, dass eine PBW-Entartung der symplektischen Fahnenvarietät irreduzibel, reduziert, normal, Cohen-Macaulay und Frobenius-spaltend ist und darüber hinaus rationale Singularitäten hat.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Approaching symplectic/orthogonal orbit closure relations. Oberwolfach Reports, No. 23/2022, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
Boos, Magdalena
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Symmetric degenerations are not in general induced by type A degenerations. Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni (7). Volume 43, 2022
Boos, Magdalena & Cerulli, Irelli Giovanni
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Linear degenerate symplectic flag varieties: symmetric degenerations and PBW locus
Boos, Magdalena; Cerulli, Irelli Giovanni; Fang, Xin & Fourier, Ghislain
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On degenerations and extensions of symplectic and orthogonal quiver representations. Arkiv för Matematik, 63(1), 61-115.
Boos, Magdalena & Cerulli, Irelli Giovanni
