Die Alperin-McKay-Vermutung für Blöcke von endlichen einfachen Gruppen vom Lie Typ

• Antragsteller: Dr. Julian Brough, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 433065539

Gruppen bilden die mathematische Sprache für Symmetrien, die in der Mathematik und anderen Naturwissenschaften angewendet wird. Eine Darstellung einer Gruppe realisiert diese Gruppe mittels Matrizen und erlaubt somit die Methoden der linearen Algebra zu verwenden. Eine grundsätzliche Aufgabe ist es die irreduziblen Darstellungen, die Bausteine aller Darstellungen, zu erklären. Die lokal-globalen Vermutungen, wie die McKay-Vermutung, behaupten, dass die Anzahl irreduzibler Objekte mit gewissen Eigenschaften nur von lokalen Untergruppen (kleinere Gruppen, die eng mit der Primzahlstruktur der Gruppe verbunden sind) abhängt. Für eine Primzahl p gibt es eine Aufteilung der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe in p-Blöcke, wobei jeder Block eng mit seinem Brauerkorrespondenten, der ein p-Block einer lokalen Untergruppen ist, natürlich verbunden ist. Die Alperin-McKay-Vermutung ist eine Verfeinerung der McKay-Vermutung, welche diese p-Blöcke berücksichtigt. Sie sagt voraus, dass es eine Bijektion zwischen den Höhe Null irreduziblen Darstellungen eines p-Block und des Brauerkorrespondent gibt.Eine Reduktionsatz von Späth zeigt, dass es genügt die induktiven Alperin-McKay-Bedingung für alle einfachen endlichen Gruppen zu verifizieren. Die noch offenen Fälle treten bei Gruppen vom Lie-Typ auf und vor kurzem haben Späth und der Antragsteller ein neues Kriterium, welches auf diese Gruppen zugeschnitten ist, vorgeschlagen. Das vorliegenden Projekt soll mittels dieses neuen Kriteriums die induktiven Bedingung in allen offenen Fällen nachweisen.Gruppen vom Lie-Typ können als endliches Analogon algebraischer Gruppen verstanden werden. Seit der wegweisenden Arbeit von Deligne und Lusztig wurde die Darstellungstheorie dieser Gruppen intensiv durch Techniken der algebraischen Geometrie und kombinatorische Methoden, wie der d-Harish-Chandra-Theorie von Broué, Malle und Michel, untersucht. Die Resultate von Cabanes und Späth, die auf einen Beweis der McKay-Vermutung hinarbeiten, reduzieren dieses neue Kriterium auf eine lokale Bedingung und die Konstruktion einer geeigneten Bijektion. Die lokale Bedingung betrifft die Operation der Gruppenautomorphismen auf lokalen Darstellungen, welche bisher kaum betrachtet wurden und daher zunächst explizit beschrieben werden müssen. Die geforderte Bijektion setzt die lokalen und globalen Höhe Null irreduziblen Darstellungen miteinander in Verbindung und berücksichtigt dabei die Operation gewisser Gruppenautomorphismen. Späth und der Antragsteller haben diese Kriterium in einer der einfachen Fälle validiert und die dabei entwickelten Methoden bieten eine Blaupause für andere Lie-Typen. Durch die Entwicklung einer gleichzeitigen Parametrisierung der lokalen und globalen Darstellungen einer Gruppe vom Lie-Typ wird dieses Projekt zu einem tieferen Verständnis beiträgt, warum diese lokal-globalen Vermutung für einfache Gruppen gilt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen