Skalierung von Krümmungsmaßen und die modifizierte Weyl-Berry-Vermutung

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Privatdozent Dr. Steffen Winter; Professorin Dr. Martina Zähle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 433621248

In den letzten Jahren hat sich eine Theorie fraktaler Krümmungsmaße und zugehöriger Skalierungsexponenten etabliert, mit deren Hilfe sich die Geometrie fraktaler Mengen über ihre fraktale Dimension hinaus beschreiben lässt. Exakte theoretische Resultate sind bisher vor allem für selbstähnliche und gewisse selbstkonforme Mengen bewiesen worden und praktische Methoden zur Schätzung fraktaler Krümmungen basieren auf einer recht komplizierten direkten Implementierung der Definitionen. Im Rahmen des hier beantragten Forschungsprojekts wollen wir einen einfacheren Zugang zu den Skalierungsexponenten von Krümmungsmaßen entwickeln, Existenzresultate für fraktale Krümmungen auf weitere Klassen von Mengen ausdehnen und mögliche Anwendungen fraktaler Krümmungen in der Spektralanalyse fraktal berandeter Mengen untersuchen. Genauer verfolgen wir die Ziele, 1. einen Box-Zähl-Zugang zu Skalierungsexponenten von Krümmungsmaßen zu entwickeln, analog zu den bekannten Box-Zähl-Methoden für die fraktale Dimension; die exakten Beziehungen (erwartungsgemäß die Äquivalenz) dieses neuen Ansatzes zur bestehenden Theorie herauszuarbeiten; einen Box-Zähl-Algorithmus zu entwickeln, der es erlaubt, Skalierungsexponenten von Mengen aus ihren digitalen Approximationen zu schätzen; 2. die Theorie fraktaler Krümmungen auf weitere Klassen von Mengen auszudehnen, darunter V-variable Fraktale und fraktale Sprays, und dabei die geometrische Bedeutung der fraktalen Krümmungen und der zugehörigen Skalierungsexponenten und deren Beziehungen untereinander weiter aufzuklären; 3. die Rolle der fraktalen Krümmungen für die Spektralasymptotik von Gebieten mit fraktalem Rand zu untersuchen, um zu einer qualifizierten Vermutung zu gelangen, wie die (in höheren Dimensionen widerlegte) modifizierte Weyl-Berry Vermutung zu korrigieren ist. Teil 1 wird die praktische Anwendbarkeit der Skalierungsexponenten verbessern, während sowohl Teil 1 also auch Teil 2 dazu beitragen, die theoretischen Grundlagen zu verbreitern und zu festigen. Fortschritte in Teil 3 werden sicherlich das Interesse von Physikern an der fraktalen Krümmungstheorie fördern, weil damit die physikalische Relevanz dieser geometrischen Funktionale unterstrichen würde.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen