Skalierung von Krümmungsmaßen und die modifizierte Weyl-Berry-Vermutung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Hauptgegenstand des Projekts waren geometrische Maße und Funktionale zur quantitativen Beschreibung von deterministischen und zufälligen Fraktalen. Die Ziele waren, 1. neue Varianten dieser geometrischen Funktionale zu untersuchen, die auf der Approximation mit Vereinigungen von Boxen statt mit Parallelmengen basieren; 2. die Klasse der fraktalen Modelle zu erweitern, für die solche geometrischen Funktionale nutzbar sind, und 3. die Relevanz solcher geometrischen Maße für u.a. die Spektralasymptotik des Laplace-Operators (d.h., für Schall- und Wärmeleitung) auf Gebieten mit fraktalem Rand zu untersuchen. In allen drei Teilen des Projekts wurden nachhaltige Erfolge erzielt. Die untersuchten Funktionale basieren auf der Approximation der zu beschreibenden fraktalen Mengen mit Parallelmengen oder mit Vereinigungen von Boxen. Sie sind definiert als reskalierte Grenzwerte von aus der klassischen Geometrie bekannten Maßen. Dazu gehören Volumen- und Oberflächenmaße, Krümmungsmaße höherer Ordnung und Stützmaße. Existenzresultate für solche Funktionale (sowie Formeln zu ihrer Berechnung) konnten im Rahmen des Projekts auf weitere Klassen von Fraktalen ausgedehnt werden, u.a. auf sogenannte V-variable zufällige Fraktale und Verallgemeinerungen derselben. Es hat sich herausgestellt, dass dort nur Mittelwerte betrachtet werden können, aber die zugehörigen fraktalen Kenngrößen stimmen strukturell mit denen für klassische selbstähnliche Mengen überein. Dies wird ihre Anwendung erleichtern, die Entwicklung numerischer Verfahren steht allerdings noch aus. Ein wichtiger Schritt in Richtung Spektralasymptotik wurde getan, indem für Gebiete mit stückweise selbstähnlichem Rand die zugehörigen fraktalen Krümmungen bestimmt wurden. Im klassischen glatten Fall sowie für sehr spezielle fraktale Ränder ist aus der Literatur bekannt, dass diese Größen in Beziehung zur Asymptotik bei Wärmeleitungsproblemen stehen. Dies wird nun weiter für die oben genannten Gebiete untersucht. Ein weiterer Fortschritt sind verfeinerte Tubenformeln für Fraktale im Sinne der Theorie komplexer Dimensionen, in denen die Koeffizienten nun durch Stützmaße beschrieben werden können.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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The Mean Minkowski Content of Homogeneous Random Fractals. Mathematics, 8(6), 883.
Zähle, Martina
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Almost sure convergence and second moments of geometric functionals of fractal percolation. Advances in Applied Probability, 56(3), 927-959.
Klatt, Michael A. & Winter, Steffen
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Lectures on Fractal Geometry. Fractals and Dynamics in Mathematics, Science, and the Arts: Theory and Applications. WORLD SCIENTIFIC.
Zähle, Martina
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Mean Lipschitz–Killing curvatures for homogeneous random fractals. Journal of Fractal Geometry, Mathematics of Fractals and Related Topics, 10(1), 1-42.
Rataj, Jan; Winter, Steffen & Zähle, Martina
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Mean Minkowski and $s$-contents of $V$-variable random fractals. Asian Journal of Mathematics, 27(6), 955-970.
Zähle, Martina
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On volume and surface area of parallel sets. II. Surface measures and (non)differentiability of the volume. Bulletin of the London Mathematical Society, 57(3), 895-912.
Rataj, Jan & Winter, Steffen
