Statistische Mechanik auf zufälligen Netzwerken
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Eine Vielzahl komplexer Systeme lässt sich durch Netzwerke beschreiben. Häufig besitzen diese Graphen eine sehr heterogene Struktur. Weiterhin ist oft die genaue Vernetzungsstruktur unbekannt. Zur qualitativen Analyse solcher Netzwerke arbeitet man deshalb meist mit Netzwerkmodellen. In diesem Projekt wurde eine Variante des "Preferential Attachment Modells" betrachtet. In diesem dynamischen Modell wird in jedem Schritt ein neuer Knoten in das bestehende Netzwerk eingebunden. Hierbei verbindet sich der neue Knoten zufällig mit den alten Knoten, wobei Verbindungen mit Knoten von hohem Grad präferiert werden. Die von uns neu eingeführte Variante erlaubt die Steuerung der Stärke der Präferenz durch eine Präferenzfunktion. Analog zu anderen Varianten des Modells, zeigen wir die Konvergenz der empirischen Gradverteilung. Hierbei lässt sich der Grenzwert explizit mithilfe der Präferenzfunktion angeben. Betrachtet man die dynamische Entwicklung des Grades der einzelnen Knoten, so findet man einen interessanten Phasenübergang. Je nach Wahl der Präferenzfunktion tritt eine der folgenden beiden Verhaltensweisen auf: (A) Ein Knoten hat für alle bis auf endlich viele Zeiten maximalen Grad. (B) Der Grad eines beliebigen Knotens überholt den Grad eines anderen Knotens in regelmäßigen Zeitabständen. Sortiert man die Knoten absteigend nach ihrem Grad, so sieht man im Fall (A), dass sich diese Ordnung in einem beliebigen Anfangsbereich nach einer Weile nicht mehr ändern wird. Es stellt sich eine feste Hierarchie ein. Hingegen stellt sich in Fall (B) keine feste Hierrachie ein und jeder Knoten liegt hin und wieder vor und hinter einem anderen Knoten. Wir charakterisieren, wann welcher der beiden Fälle eintritt. Weiterhin etablieren wir neue große Abweichungsprinzipien auf verschiedenen Skalen (large and moderate deviation principles). Diese erlauben es uns die Evolution des Knotens mit maximalem Grad in Fall (B) in Form eines Grenzwertsatzes zu beschreiben.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- High resolution quantization and entropy coding of jump processes. Preprint
F. Aurzada, S. Dereich, M. Scheutzow, and C. Vormoor
- Random networks with sublinear preferential attachment: Degree evolutions. Preprint
S. Dereich and R Mörters
- Small deviations of general Levy processes. Preprint
F. Aurzada and S. Dereich
- The coding complexity of Levy processes. Preprint
F. Aurzada and S. Dereich
- Asymptotic formulae for coding problems and intermediate optimization problems: a review. In J. Blath, R Mörters, and M. Scheutzow, editors. Trends in Stochastic Anatysis, London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 2008
S. Dereich
