Erweiterung der Methode der Harmonischen Balance um Stabilitätsanalyse und Fehlerschätzung und ihre Anwendung auf Vibro-Impact-Prozesse

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Malte Krack
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 438529800

Die Methode der Harmonischen Balance (HB)reduziert den Aufwand für die Simulation nichtlinearer Schwingungen im Vergleich zur numerischen Integration um oft 2-4 Größenordnungen. Erst mit dieser erheblichen Reduzierung wird die gründliche Analyse, die für die Auslegung vieler nichtlinearer Schwingungssysteme erforderlich ist, möglich. HB hat jedoch zwei wesentliche Einschränkungen: unzuverlässige Stabilitätsanalyse und fehlende Fehlerschätzung. Daher ist das erste Ziel, die HB zu einer zuverlässigen Methode zu machen, indem man sie entsprechend ergänzt. Zur Ermittlung der asymptotischen Stabilität wird die Monodrom-Matrix bestimmt, wobei die derzeit erforderliche numerische Integration durch die rechnerisch wesentlich effizientere Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems unter Ausnutzung der Eigenschaften von Tschebyscheff-Polynomen und des zugrunde liegenden mechanischen Problem ersetzt wird. Die theoretische Grundlage für die Fehlerschätzung wird das Urabe-Theorem von 1965 sein. Auf diese Weise wird der technische Wert seines mathematischen Ergebnisses erstmals analysiert. Die entwickelten Berechnungsmöglichkeiten werden validiert und mit dem Stand der Technik verglichen.Das zweite Ziel ist es, einen tieferen Einblick in das nichtlineare dynamische Verhalten von Vibro-Impact-Systemen mit nah benachbarten Eigenfrequenzen zu gewinnen. Solche Systeme sind für jede Berechnungsmethode eine Herausforderung, da Stöße einen starken Energieaustausch zwischen den Schwingungsmoden auslösen können und die starke Nichtlinearität zu komplizierten Arten von Stabilitätsverlusten führt. Dies sind ideale Voraussetzungen, um nicht nur die Möglichkeiten, sondern auch die Grenzen der erweiterten HB-Methode zu analysieren. Vorläufige numerische Analysen deuten darauf hin, dass solche Systeme isolierte Bereiche (Isola) stabiler und starker Schwingungen haben. Ein wichtiges Ziel ist es, zu verstehen, unter welchen Bedingungen solche Isola auftreten. Dies wird mit fortschrittlichen numerischen und experimentellen Methoden analysiert. Auf diese Weise wird erstmals ein empirischer Nachweis von Isola für ein System mit eng benachbarten Eigenfrequenzen erbracht.Die Stabilitätsanalyse und Fehlerschätzung sind entscheidend, um das physikalisch relevante Verhalten aus den numerischen Lösungen herauszufiltern und das Auftreten von (ansonsten unentdeckten) neuen Schwingungszuständen vorherzusagen. Die Fehlerschätzung ist auch entscheidend für die Konstruktion mathematisch rigoroser Techniken der adaptiven HB. Erst mit den vorgeschlagenen methodischen Entwicklungen wird die HB zu einer zuverlässigen Methode für nichtlineare Schwingungen. Auf diese Weise leistet das vorgeschlagene Projekt einen wesentlichen Beitrag zur Ermöglichung des Paradigmenwechsels von der Vermeidung zur absichtlichen Anwendung von Nichtlinearitäten bei der Auslegung von Schwingungssystemen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartner: Dr. Ludovic Renson