HyperCut II -- Stabilisierte DG Verfahren höherer Ordnung für hyperbolische Erhaltungsgleichungen auf Gittern mit geschnittenen Zellen

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Engwer; Professor Dr. Stefan Turek, seit 5/2022
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 439956613

In diesem Projekt setzen wir die Forschung des DFG-geförderten Projekts HyperCut zur Entwicklung stabilisierter unstetiger Galerkin (DG) Verfahren für hyperbolische Erhaltungsgleichungen auf Gittern mit geschnittenen Zellen fort. Diese Gitter sind eine Alternative zu beispielweise Geometrie-angepassten Gittern; die gegebene Geometrie wird hierbei einfach aus einem strukturierten Hintergrundgitter ausgeschnitten. An den Stellen, an denen sich die Objekte mit dem zugrundeliegenden Hintergrundgitter schneiden, entstehen sogenannte geschnittene Zellen, die beliebig klein werden können. Bei der Lösung zeitabhängiger hyperbolischer Erhaltungsgleichungen mit expliziten Zeitschrittverfahren steht man vor dem sogenannten Kleine-Zelle-Problem (small cell problem): Standard-Verfahren sind auf den geschnittenen Zellen und ihren Nachbarn nicht stabil, wenn der Zeitschritt in Abhängigkeit der größeren Hintergrundzellen gewählt wird. Die Lösung dieses Problems im Kontext von DG-Verfahren ist ein sehr neues Forschungsgebiet und es existieren aktuell nur sehr wenige Lösungsansätze, darunter unsere Domain-of-Dependence (DoD) Stabilisierung. Die DoD-Stabilisierung wurde entwickelt, um die korrekten Abhängigkeitsgebiete der Ausströmnachbarn kleiner geschnittener Zellen wiederherzustellen und ermöglicht dadurch die Verwendung von expliziten Zeitschrittverfahren mit einer Zeitschrittweite, die unabhängig von der Größe kleiner geschnittener Zellen ist. Die DoD-Stabilisierung besteht aus zwei Straftermen. Einer ist dafür verantwortlich, die Masse zwischen den kleinen geschnittenen Zellen und ihren Nachbarn geeignet umzuverteilen. Der andere verteilt die Masse innerhalb der Zellen um. In diesem Projekt werden wir die DoD-Stabilisierung auf nichtlineare Systeme in zwei und drei Dimensionen erweitern und dabei eine Genauigkeit höherer Ordnung anstreben. Wir werden die Stabilisierung so gestalten, dass sie L2-Stabilität für skalare Probleme und Entropiestabilität für Euler-Gleichungen gewährleistet. Wir werden auch praxisnahe Problemstellungen wie gekrümmte Ränder und das Limitieren auf geschnittenen Zellen behandeln. Die gesamte Implementierung wird innerhalb des DUNE-Software-Pakets erfolgen, um hochmoderne und stabile Simulationen für die Euler-Gleichungen in drei Dimensionen auf Gebieten mit komplexen Geometrien zu ermöglichen. Hierbei wird die gesamte Implementierung öffentlich verfügbar sein.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Hendrik Ranocha
• Ehemalige Antragstellerin: Professorin Dr. Sandra May, Ph.D., bis 4/2022