Vollständige Verifikation der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für elliptische Kurven und abelsche Flächen über total-reellen Zahlkörpern

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Stoll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441241343

Dieses Projekt befasst sich mit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (kurz BSD) für elliptischen Kurven über total-reellen Zahlkörpern. Eine elliptische Kurve ist eine algebraische Kurve, die die Struktur einer Gruppe hat. Man kann also zwei Punkte der Kurve addieren und erhält wieder einen Punkt der Kurve, und diese Addition hat ähnliche Eigenschaften wie die übliche Addition. Elliptische Kurven spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen Gebieten der Mathematik, zum Beispiel im Beweis der Fermatschen Vermutung oder auch in der Kryptographie. Ein total-reeller Zahlkörper ist eine Erweiterung des Körpers Q der rationalen Zahlen, die von einer Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten und nur reellen Nullstellen erzeugt wird.Sei E eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper F.Mithilfe der Anzahlen der Punkte auf E modulo jedem Primideal von F konstruiert man eine Funktion, die L-Funktion von E. Die BSD-Vermutung für E postuliert einen überraschenden Zusammenhang zwischen dem analytischen Verhalten der L-Funktion von E und gewissen "globalen" Daten von E. Zu diesen Daten gehören einerseits Eigenschaften der Gruppe der F-rationalen Punkte von E und andererseits die Anzahl der Elemente der mysteriösen Shafarevich-Tate-Gruppe Sha(E/F) von E. Da sich alle anderen Größen, die in der BSD-Vermutung vorkommen, für konkretes E berechnen lassen, ist die Vermutung äquivalent zu der Aussage "Sha(E/F) ist endlich und hat so viele Elemente wie erwartet".Birch und Swinnerton-Dyer haben ihre Vermutung ursprünglich für elliptische Kurven über Q formuliert. Diese Version zu beweisen ist eines der sieben "Millenniums-Probleme" der Clay Foundation.Für allgemeine elliptische Kurven ist das ein offenes Problem. Es ist zum Beispiel nicht einmal bekannt, dass Sha(E/F) stets endlich ist. Für sogenannte "modulare" elliptische Kurven mit zusätzlichen Eigenschaften sind jedoch Teile der Vermutung bewiesen, insbesondere die Endlichkeit von Sha(E/F). Jede über Q definierte elliptische Kurve ist modular, und so konnte die BSD-Vermutung für viele elliptische Kurven über Q vollständig gezeigt werden. Im Vorgänger dieses Projekts haben wir das ausgeweitet auf eine Anzahl von modularen abelschen Flächen über Q; das sind zweidimensionale Analoga von elliptischen Kurven.Das Ziel dieses neuen Projekts ist es, die vollständige Verifikation der BSD-Vermutung auch für viele modulare elliptische Kurven (und, wenn möglich, auf für abelsche Flächen) über anderen total-reellen Zahlkörpern als Q zu erreichen.Die in diesem Zusammenhang entwickelten Algorithmen und die erhaltenen Daten über Sha(E/F) werden auch außerhalb des Projekts von Nutzen sein.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen